Содержание

• Шаги
• Совет

Если вы математик или графический программист, вам, вероятно, придется найти угол между двумя заданными векторами. В этой статье wikiHow покажет вам, как это сделать.

Шаги

Часть 1 из 2: Найдите угол между двумя векторами

1. 

   Определение вектора. Запишите всю информацию о двух векторах, которые у вас есть. Предположим, у вас есть только указанные параметры их размерных координат (также называемых компонентами). Если вы уже знаете длину (величину) вектора, вы можете пропустить некоторые из следующих шагов.
   • Пример: двумерный вектор = (2,2) и двумерный вектор = (0,3). Их также можно записать как = 2я + 2j и = 0я + 3j = 3j.
   • Хотя в примере в этой статье используются двумерные векторы, следующие инструкции могут применяться к векторам с любым числом измерений.

2. 

   
   
   Запишите формулу косинуса. Чтобы найти угол θ между двумя векторами, мы начнем с формулы для нахождения косинуса для этого угла. Вы можете узнать об этой формуле ниже или просто запишите ее так:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| означает «длина вектора».
   • • является скалярным произведением двух векторов - это будет объяснено ниже.

3. 

   
   
   Вычислите длину каждого вектора. Представьте себе прямоугольный треугольник, состоящий из компонентов x, y вектора и самого вектора. Вектор образует гипотенузу треугольника, поэтому для определения его длины воспользуемся теоремой Пифагора. Фактически, эту формулу можно легко распространить на вектор любого числа размерностей.
   • || и || = u₁ + ты₂. Если в векторе больше двух элементов, просто продолжайте добавлять + u₃ + ты₄ +...
   • Следовательно, для двумерного вектора || и || = √ (u₁ + ты₂).
   • В этом примере |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Вычислите скалярное произведение двух векторов. Возможно, вы узнали метод умножения векторов, также известный как скаляр этот. Чтобы вычислить скалярный продукт относительно их состава, умножьте ингредиенты в каждом направлении вместе, а затем сложите весь результат.
   • Для графической программы, пожалуйста, обратитесь к разделу "Советы", прежде чем читать дальше.
   • По математике • = u₁v₁ + ты₂v₂, где, u = (u₁, ты₂). Если в векторе больше двух элементов, просто добавьте + u₃v₃ + ты₄v₄...
   • В этом примере • = u₁v₁ + ты₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Это скалярное произведение вектора и вектора.

5. 

   Запишите результаты в формулу. Помните, что cosθ = (•) / (|||| || ||). Теперь мы знаем как скалярное произведение, так и длину каждого вектора. Введите их в формулу для вычисления косинуса угла.
   • В нашем примере cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Найдите угол на основе его косинуса. Вы можете использовать функцию arccos или cos в калькуляторе, чтобы найти θ из известного значения cos. При некоторых результатах вы можете найти угол на основе единичной окружности.
   • В этом примере cosθ = √2 / 2. Введите «arccos (√2 ​​/ 2)» в калькулятор, чтобы найти угол. Или вы можете найти угол θ на единичной окружности в позиции cosθ = √2 / 2. Это верно для θ = /₄ или 45º.
   • В результате получается окончательная формула: угол θ = арккосинус ((•) / (|||| || ||))
   рекламное объявление

Часть 2 из 2: Определение формулы угла

1. 

   Разберитесь в назначении формулы. Эта формула не была получена из существующих правил. Вместо этого он формируется как определение скалярного произведения и угла между двумя векторами. Тем не менее, это не было произвольным решением. Возвращаясь к базовой геометрии, мы можем понять, почему эта формула дает интуитивно понятные и полезные определения.
   • В приведенных ниже примерах используются двумерные векторы, потому что они наиболее легкие для понимания и самые простые. Трехмерные или несколько векторов имеют свойства, определяемые почти аналогичными общими формулами.

2. 

   Просмотрите теорему Косинуса. Рассмотрим обычный треугольник с углом θ между сторонами a и b, противоположной стороной c. Теорема косинусов утверждает, что c = a + b -2abпотому что(θ). Этот результат довольно просто получается из базовой геометрии.

3. 

   Соедините два вектора, образуя треугольник. Нарисуйте на бумаге пару двумерных векторов, векторов и векторов, причем θ - это угол между ними. Нарисуйте третий вектор между этими двумя, чтобы создать треугольник. Другими словами, нарисуйте такой вектор, что + =. Вектор = -.

4. 

   Напишите теорему косинусов для этого треугольника. Подставим длину стороны нашего "векторного треугольника" в теорему косинусов:
   • || (а - б) || = || а || + || b || - 2 || а || || b ||потому что(θ)

5. 

   Перепишите со скалярным произведением. Помните, что скалярное произведение - это изображение одного вектора на другой. Скалярное произведение вектора на себя не требует проекции, потому что здесь нет разницы в направлении. Это означает • = || a ||. Используя это, мы перепишем уравнение:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||потому что(θ)

6. 

   Успешно переписал ту же формулу. Разверните левую часть формулы, затем упростите, чтобы получить формулу, используемую для нахождения углов.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||потому что(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||потому что(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||потому что(θ)
   • • = || a || || b ||потому что(θ)
   рекламное объявление

Совет

• Чтобы изменить значения и быстро решить проблему, используйте эту формулу для любой пары двумерных векторов: cosθ = (u₁ • v₁ + ты₂ • v₂) / (√ (u₁ • ты₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Если вы работаете с программным обеспечением для компьютерной графики, скорее всего, вам нужно будет заботиться только о размерности векторов, не беспокоясь об их длине. Используйте следующие шаги, чтобы сократить уравнение и ускорить выполнение программы:
  • Нормализуйте каждый вектор так, чтобы они были равны 1. Для этого разделите каждый из компонентов вектора на его длину.
  • Получите нормализованное произведение скаляра вместо исходного вектора.
  • Поскольку длина равна 1, мы можем исключить элементы длины из уравнения. Наконец, полученное угловое уравнение - arccos (•).
• По формуле косинуса мы можем быстро определить, острый или тупой угол. Начните с cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Левая и правая части уравнения должны иметь одинаковый знак (положительный или отрицательный).
  • Поскольку длина всегда положительна, cosθ должен иметь тот же знак, что и скалярное произведение.
  • Следовательно, если произведение положительное, cosθ также положителен. Мы находимся в первом квадранте единичного круга с θ <π / 2 или 90º. Угол, который нужно найти, - это острый угол.
  • Если скалярное произведение отрицательно, cosθ отрицательный. Мы находимся во втором квадранте единичной окружности, где π / 2 <θ ≤ π или 90º <θ ≤ 180º. Это тюремный угол.