Содержание

• Шагать
• Метод 1 из 3: первая простая задача
• Метод 2 из 3: расчет ожидаемого значения для конкретного результата
• Метод 3 из 3. Разберитесь в концепции
• Советы
• Необходимости

Ожидаемая ценность - это статистический термин и понятие, используемое для определения того, насколько полезным или вредным будет действие. Чтобы рассчитать ожидаемое значение, необходимо получить хорошее представление о каждом исходе в конкретной ситуации и связанной с ним вероятности или вероятности того, что конкретный результат произойдет. Приведенные ниже шаги содержат несколько примеров упражнений, которые помогут вам понять концепцию математического ожидания.

Шагать

Метод 1 из 3: первая простая задача

1. Прочтите заявление. Прежде чем вы начнете обдумывать все возможные исходы и вероятности, важно понять проблему. Например, игра в кости стоит 10 евро за игру. Один раз бросается шестигранный кубик, и ваш выигрыш зависит от выпавшего числа. Если выпадает 6, вы выигрываете 30 евро; пятерка зарабатывает 20 евро; любое другое число ничего не дает.
2. Перечислите все возможные исходы. Это помогает перечислить все возможные исходы в данной ситуации. В приведенном выше примере есть 6 возможных исходов. Это: (1) бросьте 1, и вы потеряете 10 долларов, (2) бросьте 2, и вы потеряете 10 долларов, (3) бросьте 3, и вы потеряете 10 долларов, (4) бросьте 4, и вы потеряете 10 долларов , (5) бросьте 5 и выиграйте 10 долларов, (6) выбросьте 6 и выиграйте 20 долларов.
   • Обратите внимание, что каждый исход на 10 евро меньше, чем описано выше, так как сначала вам придется заплатить 10 евро за игру, независимо от результата.
3. Определите вероятность каждого исхода. В этом случае вероятность любых 6 исходов одинакова. Вероятность выпадения случайного числа равна 1 из 6. Чтобы упростить запись, мы запишем дробь (1/6) в виде десятичной дроби с помощью калькулятора: 0,167. Напишите эту вероятность рядом с каждым результатом, особенно если вы хотите решить проблему с разными вероятностями для каждого результата.
   • Ваш калькулятор 1/6 может дать что-то вроде 0,166667. Мы округляем это до 0,167, чтобы упростить вычисления без ущерба для точности.
   • Если вам нужен очень точный результат, не делайте его десятичным, просто введите 1/6 в формулу и вычислите его на своем калькуляторе.
4. Запишите ценность каждого результата. Умножьте $ результата на вероятность его появления, чтобы вычислить, сколько денег этот результат будет способствовать ожидаемой стоимости. Например, результат выпадения 1 составляет -10 долларов, а вероятность выпадения 1 равна 0,167. Таким образом, значение 1 будет (-10) * (0,167).
   • Теперь нет необходимости вычислять эти результаты, если у вас есть калькулятор, который может выполнять несколько операций одновременно. Вы получите более точный результат, если введете все уравнение целиком.
5. Добавьте ценность каждого результата, чтобы получить ожидаемую ценность события. Продолжая приведенный выше пример, ожидаемое значение игры в кости: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167), или - 1,67 евро. Таким образом, вы можете ожидать проигрывать 1,67 доллара каждый раз в этой игре (за игру).
6. Каковы последствия расчета ожидаемой стоимости. В приведенном выше примере мы определили, что ожидаемая прибыль (убыток) составит -1,67 евро за бросок. Это невозможный исход для 1 игры; вы можете проиграть 10 евро, выиграть 10 евро или выиграть 20 евро. Но в конечном итоге ожидаемое значение - это полезная средняя вероятность. Если вы продолжите играть в эту игру, вы потеряете в среднем около 1,67 доллара за игру. Другой способ подумать об ожидаемой ценности - это приписать игре определенные затраты (или выгоды); вы должны играть в эту игру только в том случае, если вы считаете, что она того стоит, наслаждайтесь ею, чтобы каждый раз тратить на нее 1,67 доллара.
   • Чем чаще ситуация повторяется, тем точнее ожидаемое значение представляет фактический средний результат. Например, вы играете в игру 5 раз подряд и каждый раз проигрываете, в результате чего средний проигрыш составляет 10 долларов. Однако, если вы сыграете в игру еще 1000 раз, средний результат будет все ближе и ближе к ожидаемому значению - 1,67 евро за игру. Этот принцип называется «законом больших чисел».

Метод 2 из 3: расчет ожидаемого значения для конкретного результата

1. Используйте этот метод, чтобы вычислить среднее количество монет, которое вам нужно подбросить, прежде чем возникнет определенный паттерн. Например, вы можете использовать этот метод, чтобы узнать ожидаемое количество монет, которые нужно подбросить, пока у вас не выпадет орел дважды подряд. Эта проблема немного сложнее, чем стандартная проблема с ожидаемыми значениями, поэтому сначала прочтите приведенную выше часть этой статьи, если вы не знакомы с концепцией математического ожидания.
2. Предположим, мы ищем значение x. Вы пытаетесь определить, сколько монет вам нужно в среднем подбросить, чтобы получить две орла подряд. Теперь мы проведем сравнение, чтобы найти ответ. Назовем искомый ответ х. Пошагово делаем необходимое сравнение. В настоящее время у нас есть следующее:
   • х = ___
3. Подумайте, что произойдет, если при первом подбрасывании выпадет монета. Так будет в половине случаев. Если это так, вы «потратили» переворот, а шанс перевернуть голову дважды подряд не изменился. Как и в случае с подбрасыванием монеты, ожидается, что вам придется бросить в среднем количество раз, прежде чем вы получите голову дважды подряд. Другими словами, вы ожидаете бросить x количество раз, плюс те, которые вы уже сыграли. В виде уравнения:
   • х = (0,5) (х + 1) + ___
   • Мы собираемся заполнить пустое место, продолжая думать о других ситуациях.
   • Вы можете использовать дроби вместо десятичных, если это проще или необходимо.
4. Подумайте, что происходит, когда вы закидываете голову. Вероятность того, что вы бросите чашку в первый раз, составляет 0,5 (или 1/2). Кажется, это приближается к цели - дважды подряд забросить головой, но насколько? Самый простой способ узнать это - подумать о ваших вариантах во втором ролике:
   • Если второй бросок - монета, мы вернулись к началу.
   • Если во второй раз тоже чашка, то все готово!
5. Узнайте, как рассчитать вероятность того, что оба события произойдут. Теперь мы знаем, что у вас есть 50% шанс, что вы бросите чашку, но каков шанс, что вы бросите чашку дважды подряд? Чтобы вычислить эту вероятность, умножьте вероятность обоих. В данном случае это 0,5 х 0,5 = 0,25. Конечно, это также шанс того, что вам выпадет орел, а затем решка, потому что оба они имеют шанс выпадения 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Добавьте к уравнению результат "орел, затем решка". Теперь, когда мы рассчитали вероятность того, что это событие произойдет, мы можем перейти к расширению уравнения. Есть шанс 0,25 (или 1/4), что мы дважды потратим впустую бросок, не двигаясь вперед. Но теперь нам все еще нужно в среднем на x больше бросков, чтобы получить результат, который мы хотим получить, плюс 2, которые мы уже выбросили. В форме уравнения это становится (0,25) (x + 2), которое теперь мы можем добавить к уравнению:
   • х = (0,5) (х + 1) + (0,25) (х + 2) + ___
7. Добавьте к уравнению результат "заголовок, заголовок". Если вы бросите голову, бросьте первые две монеты - все готово. Вы получили результат ровно за 2 броска. Как мы отмечали ранее, вероятность этого составляет 0,25, поэтому уравнение для этого есть (0,25) (2). Наше сравнение завершено:
   • х = (0,5) (х + 1) + (0,25) (х + 2) + (0,25) (2)
   • Если вы не уверены, что продумали все возможные ситуации, есть простой способ проверить, является ли уравнение полным. Первое число в каждой части уравнения представляет вероятность того, что событие произойдет. Это всегда будет в сумме до 1. Здесь 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, поэтому мы знаем, что учли все ситуации.
8. Упростите уравнение. Давайте немного упростим уравнение путем умножения. Помните, что если вы видите в круглых скобках что-то вроде этого: (0,5) (x + 1), тогда вы умножаете 0,5 на каждый член во втором наборе круглых скобок. Это дает вам следующее: 0,5x + (0,5) (1) или 0,5x + 0,5. Давайте сделаем это для каждого члена в уравнении, а затем объединим эти члены, чтобы все выглядело немного проще:
   • х = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • х = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • х = 0,75x + 1,5
9. Решите для x. Как и в любом уравнении, вам нужно будет изолировать x на одной стороне уравнения, чтобы вычислить его. Помните, что x означает «среднее количество монет, которое вам нужно подбросить, чтобы дважды подряд получить орел». Когда мы вычислили x, мы также нашли ответ.
   • х = 0,75x + 1,5
   • х - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • х = 6
   • В среднем вам придется подбросить монету 6 раз, прежде чем дважды бросить орел.

Метод 3 из 3. Разберитесь в концепции

1. Какое на самом деле ожидаемое значение. Ожидаемое значение не обязательно является наиболее очевидным или логическим результатом. Иногда математическое ожидание может оказаться даже невозможным в данной ситуации. Например, математическое ожидание может составлять + 5 евро для игры с призом не более 10 евро. Значение ожидания показывает, насколько ценным является конкретное событие. Если ожидаемая стоимость игры составляет + 5 евро, вы можете играть в нее, если считаете, что она стоит времени и денег, которые вы можете получить за игру. Если ожидаемая стоимость другой игры составляет -20 долларов, вы играете в нее, только если считаете, что каждая игра стоит 20 долларов.
2. Разберитесь в концепции независимых событий. В повседневной жизни многие из нас думают, что у нас бывает удачный день, когда случаются какие-то хорошие вещи, и мы ожидаем, что остальная часть дня пройдет именно так.Точно так же мы можем думать, что с нас достаточно аварии, и что сейчас действительно нужно сделать что-то интересное. Математически все обстоит иначе. Если вы бросите обычную монету, есть точно такой же шанс, что вы бросите голову или монету. Неважно, сколько раз вы уже бросали; в следующий раз, когда вы бросите, он будет работать так же. Подбрасывание монеты "независимо" от других подбрасываний, это не влияет на него.
   • Вера в то, что вам может повезти или не повезет, когда вы бросаете монеты (или в любой другой азартной игре), или же Тот факт, что все ваши невезения закончились и удача на вашей стороне, также называется обманом игрока (или заблуждением игрока). Это связано со склонностью людей принимать рискованные или глупые решения, когда они чувствуют, что удача на их стороне, или если они чувствуют «полосу удачи», или если они чувствуют, что «удача вот-вот повернется» ».
3. Понять закон больших чисел. Вы можете подумать, что математическое ожидание бесполезно, потому что оно редко говорит вам о фактическом исходе ситуации. Если вы подсчитали, что ожидаемая ценность игры в рулетку составляет -1 евро, и вы играете в игру 3 раза, вы обычно получаете -10 евро, или + 60 евро, или какой-либо другой результат. «Закон больших чисел» помогает объяснить, почему математическое ожидание более полезно, чем вы думаете: чем больше вы играете, тем ближе к ожидаемому значению будет средний результат. Когда вы смотрите на большое количество событий, есть большая вероятность, что конечный результат близок к ожидаемому значению.

Советы

• Для тех ситуаций, когда возможны множественные результаты, вы можете создать электронную таблицу на компьютере, чтобы вычислить ожидаемое значение, используя результаты и их вероятности.
• Приведенные выше расчеты в евро также работают в других валютах.

Необходимости

• Карандаш
• Бумага
• Калькулятор