Содержание

• Шагать
• Часть 1 из 3: основы анализа
• Часть 2 из 3. Основные сведения о производных финансовых инструментах
• Часть 3 из 3: понимание интегралов
• Советы

Анализ (также называемый исчислением) - это раздел математики, ориентированный на пределы, функции, производные, интегралы и бесконечные ряды. Этот предмет охватывает большую часть математики и лежит в основе многих формул и уравнений, используемых в физике и механике. Для правильного понимания анализа вам, вероятно, потребуется несколько лет обучения математике в старшей школе, но эта статья поможет вам научиться распознавать ключевые концепции, а также лучше понимать теорию.

Шагать

Часть 1 из 3: основы анализа

1. Анализ - это изучение того, как вещи меняются. Анализ - это раздел математики, который исследует числа и графики, обычно взятые из реальных данных, и объясняет, как они меняются. Хотя поначалу это может показаться не очень полезным, анализ - одна из наиболее часто используемых областей математики. Представьте, что у вас есть инструменты, которые сообщают вам, насколько быстро растет ваш бизнес в любой момент времени, или как определять курс космического корабля и как быстро расходуется его топливо. Анализ - важный инструмент в инженерии, экономике, статистике, химии и физике, он внес свой вклад во многие изобретения и открытия.
2. Функции - это отношения между двумя числами, которые используются для отображения отношений. Это правила взаимосвязи между числами, и математики используют их для построения графиков. В функции каждый вход имеет ровно один результат. Например: в ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Подумайте о концепции бесконечности. Бесконечность - это постоянное повторение процесса. Это не конкретное место (вы не можете уйти в бесконечность), а скорее поведение числа или уравнения, если делать это навсегда. Это важно для изучения изменений: вы можете захотеть узнать, с какой скоростью ваша машина движется в любой момент времени, но насколько быстро ваша машина движется в текущую секунду? Миллисекунда? Наносекунда? Вы можете найти бесконечно меньшие отрезки времени, чтобы быть еще более точным, и вот тогда-то и пригодится анализ.
3. Понять концепцию ограничений. Предел говорит вам, что происходит, когда что-то приближается к бесконечности. Возьмите число 1 и разделите его на 2. Продолжайте делить на 2 снова и снова. 1 становится 1/2, а затем 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и т. Д. Каждый раз число становится все меньше и меньше, «приближаясь к» нулю. Но где это остановится? Сколько раз нужно разделить 1 на 2, чтобы получить ноль? Вместо ответа на этот вопрос в анализе вы задаете один предел В этом случае предел равен.
   • Границы легче всего визуализировать на графике - например, есть ли точки, которых график почти касается, но никогда не касается?
   • Пределы могут быть количественными, бесконечными или даже несуществующими. Например, с последовательностью сложения 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... и это продолжается бесконечно, конечное число становится бесконечно большим. Тогда предел становится бесконечным.
4. Ознакомьтесь с основными математическими понятиями алгебры, тригонометрии и основами математики. Анализ основан на большей части математики, которую вы выучили раньше. Если вы хорошо осведомлены по всем темам, вам будет намного проще изучать и понимать анализ. Вот несколько тем, над которыми стоит освежиться:
   • Алгебра. Вам необходимо понимать различные процессы и уметь решать уравнения и системы уравнений с несколькими переменными. Разберитесь в основах коллекций. Практикуйтесь в построении графиков.
   • Геометрия. Геометрия - это изучение форм. У вас должны быть базовые знания о треугольниках, прямоугольниках и кругах, а также о том, как рассчитывать такие параметры, как периметр и площадь. Понять углы, линии и координаты
   • Тригонометрия. Тригонометрия - это раздел математики, изучающий свойства окружностей и прямоугольных треугольников. Знайте, как использовать тригонометрические тождества, графики, функции и обратные тригонометрические функции.
5. Купите графический калькулятор. Анализ нелегко понять, не видя, что вы делаете. Графические калькуляторы делают функции наглядными, чтобы вы могли лучше понять, с какими уравнениями вы имеете дело. Часто пределы также отображаются на экране, а производные и функции рассчитываются автоматически.
   • Многие смартфоны и планшеты сегодня предлагают недорогие, но эффективные графические приложения, если вы не хотите или не можете купить графический калькулятор.

Часть 2 из 3. Основные сведения о производных финансовых инструментах

1. Анализ используется для изучения «изменения в определенный момент». Знание, почему что-то меняется в конкретный момент, - это суть анализа. Например, анализ дает вам не только скорость автомобиля, но и то, насколько эта скорость изменяется в любой момент времени. Это одно из самых простых, но очень важных применений анализа. Представьте, насколько важна такая информация для определения скорости, необходимой для полета космического корабля на Луну!
   • Определение изменений в конкретный момент времени дифференцировать. Дифференциация - это первая из двух основных ветвей анализа.
2. Используйте производные инструменты, чтобы понять, как все меняется в данный момент. «Производная» - хорошее слово для обозначения того, что часто заставляет студентов нервничать. Однако саму концепцию не так уж сложно понять - она ​​просто означает «как быстро что-то меняется». Производные, с которыми вы чаще всего сталкиваетесь в повседневной жизни, связаны со скоростью. Однако обычно вы не называете это «производной скорости», а просто «ускорением».
   • Ускорение является производным - оно говорит вам, насколько быстро что-то ускоряется или замедляется или как изменяется его скорость.
3. Знайте, что скорость изменения равна наклону между двумя точками. Это одно из важнейших открытий анализа. Скорость изменения между двумя точками равна наклону линии между этими двумя точками. Представьте себе простую линию, например, уравнение ${ displaystyle y = 3x.}$Знайте, что вы можете определить наклон кривых линий. Определить наклон прямой относительно несложно: сколько меняется ${ displaystyle y}$Если вы хотите более точно рассчитать изменение, убедитесь, что точки расположены ближе друг к другу. Чем ближе вы выберете две точки, тем точнее ваш ответ. Предположим, вы хотите узнать, насколько ваша машина разгоняется, когда вы нажимаете на педаль газа. Вы хотите измерять не изменение скорости между вашим домом и супермаркетом, а изменение скорости с момента нажатия на педаль газа. Чем ближе ваши показания к этой доле секунды, тем точнее будет ваш расчет изменения.
   • Например, ученые исследуют, как быстро вымирают некоторые виды, чтобы спасти их. Однако зимой гибнет больше животных, чем летом, поэтому нецелесообразно изучать скорость изменения в течение года - лучше определять скорость изменения за меньший период, например с 1 июля по 1 августа.
4. Используйте бесконечно короткие линии, чтобы определить «мгновенную скорость изменения», или найдите производную. Здесь анализ часто немного сбивает с толку, но на самом деле это результат двух простых фактов. Прежде всего, вы знаете, что наклон линии равен тому, насколько быстро эта линия изменяется. Во-вторых, вы знаете, что чем ближе точки линии друг к другу, тем точнее будет считывание. Но как определить скорость изменения в данной точке, если наклон - это отношение между двумя точками? Ответ: Вы выбираете две точки, которые бесконечно близки друг к другу.
   • Рассмотрим пример, в котором вы продолжаете делить 1 на 2, получая 1/2, 1/4, 1/8 и т. Д. В итоге вы приближаетесь к нулю, а ответ - «почти ноль». Точки расположены так близко друг к другу, что «почти равны друг другу». Такова природа производных.
5. Узнайте, как определять различные производные. Существует множество различных методов нахождения производной в зависимости от уравнения, но большинство из них имеют смысл, если вы запомнили основы производных, описанные выше. Все производные - это способ найти наклон «бесконечно малой» линии. Теперь, когда вы знаете больше о теории производных, большая часть работы заключается в поиске ответов.
6. Найдите производные уравнения, чтобы предсказать скорость изменения в любое время. Полезно использовать производные для определения скорости изменения в любой момент времени, но прелесть анализа в том, что вы можете создать новую модель для любой функции. Производная от ${ Displaystyle у = х ^ {2},}$Если вам сложно понять это, попробуйте вспомнить реальные примеры производных финансовых инструментов. Самый простой пример основан на скорости, которая включает в себя множество различных производных, с которыми мы сталкиваемся каждый день. Не забудь: производная - это мера того, насколько быстро что-то меняется. Подумайте о простом эксперименте. Вы катите шарик по столу и каждый раз измеряете, как далеко и с какой скоростью он движется. Теперь представьте, что катящийся шарик следует линии на графике - вы используете производные для измерения мгновенных изменений в любой момент на этой линии.
   • Как быстро движется шарик? С какой скоростью изменяется положение (или производная) движущегося шарика? Мы называем эту производную «скоростью».
   • Катите шарик по склону и наблюдайте, как меняется скорость. Какова скорость изменения или производная скорости мрамора? Эта производная и есть то, что мы называем «ускорением».
   • Катите мрамор по волнистой дорожке, например, по американским горкам. В какой степени мрамор набирает скорость, когда скатывается вниз, и в какой степени он замедляется при подъеме в гору? Насколько быстро движется мрамор, когда он находится на полпути к первому холму? Это мгновенная скорость изменения или производная этого шарика в этой конкретной точке.

Часть 3 из 3: понимание интегралов

1. Знайте, что вы можете использовать анализ для поиска сложных областей и объемов. С помощью анализа вы можете измерять сложные формы, которые иначе трудно измерить. Рассмотрим, например, задачу, заключающуюся в том, что вы хотите узнать, сколько воды содержится в длинном озере неправильной формы - невозможно измерить каждый литр воды отдельно или использовать линейку для измерения формы озера. С помощью анализа вы можете изучить, как меняются края озера, а затем использовать эту информацию, чтобы узнать, сколько в нем воды.
   • Изготовление геометрических моделей и изучение объемов интегрировать. Интегрированное исчисление - вторая важная ветвь анализа.
2. Знайте, что интеграция - это область под графиком. Интеграция используется для измерения пространства под линией, что позволяет определить область странных или неправильных форм. Возьмите уравнение ${ Displaystyle у = 4-х ^ {2},}$Знайте, что вы должны выбрать область для интеграции. Вы не можете просто интегрировать целую функцию. Например, ${ displaystyle y = x}$Подумайте, как рассчитать площадь прямоугольника. Предположим, у вас есть плоская линия над графиком, например ${ displaystyle y = 4.}$Знайте, что в интегральном исчислении множество маленьких прямоугольников складываются вместе, чтобы найти площадь области. Когда вы сильно увеличиваете кривую, она кажется прямой. Вы видите это каждый день - вы не можете ощутить кривизну Земли, потому что находитесь так близко к поверхности Земли. Интеграция создает бесконечное количество маленьких прямоугольников под кривой, которые настолько малы, что в основном плоские, что позволяет вам их подсчитать. Все эти прямоугольники, сложенные вместе, образуют область под кривой.
   • Предположим, вы складываете много маленьких сегментов под графиком, и это ширина каждого сегмента. почти равно нулю.
3. Уметь правильно читать и записывать интегралы. Интегралы состоят из 4 частей. Типичный интеграл выглядит так:
   
   ${ Displaystyle int е (х) mathrm {d} х}$ Узнать больше о поиске интегралов. Интеграция бывает разных форм, и вам нужно изучить множество различных формул, чтобы интегрировать каждую функцию. Однако все они следуют принципам, изложенным выше: интеграция - это сумма бесконечного количества вещей.
   • Интегрируйте заменой.
   • Вычислить неопределенные интегралы.
   • Интегрируйте, делясь.
4. Знайте, что интеграция - это противоположность дифференциации, и наоборот. Это практическое правило анализа настолько важно, что оно получило собственное название: Основная теорема интегрального вычисления.Поскольку интеграция и дифференциация так тесно связаны, их комбинация может использоваться для определения скорости изменения, ускорения, скорости, местоположения, движения и т. Д., Независимо от того, какая информация у вас есть.
   • Например, помните, что производная скорости - это ускорение, поэтому вы можете использовать скорость, чтобы найти ускорение. Но если вам известно только ускорение чего-либо (например, предметов, падающих под действием силы тяжести), вы можете интегрироваться, чтобы восстановить скорость!
5. Знайте, что с помощью интеграции вы также можете контролировать объем 3D-объектов. Вращение плоской формы - это один из способов создания трехмерных тел. Представьте себе монету, вращающуюся на столе - обратите внимание, как монета при вращении принимает форму сферы. Эта концепция позволяет вам определять объем в соответствии с процессом, известным как «объем при вращении».
   • Это позволяет вам определять объем любого твердого тела, если у вас есть функция, которая его представляет. Например, вы можете создать функцию, которая отслеживает дно озера, а затем использовать ее для определения объема озера или количества воды в нем.

Советы

• Практика ведет к совершенству, поэтому выполняйте практические упражнения в своем учебнике - даже те, которые ваш учитель не давал - и проверяйте свои ответы, чтобы лучше понять концепции.
• Если вы не можете найти решение, спросите своего учителя.