Содержание

• Шаги
• Совет

В отличие от прямой, коэффициент наклона (крутизны) постоянно меняется при движении по кривой. Расчет дает представление о том, что каждая точка на графике может быть выражена как коэффициент угла или «мгновенная скорость изменения». Касательная в точке - это линия с одинаковым угловым коэффициентом, проходящая через ту же точку. Чтобы найти уравнение касательной, вам нужно знать, как вывести исходное уравнение.

Шаги

Метод 1 из 2. Найдите уравнение для касательной

1. 

   Функции графика и касательные (этот шаг не является обязательным, но рекомендуется). Таблица поможет вам легче понять проблему и проверить, разумен ли ответ. Нарисуйте графики функций на сетке, при необходимости используйте научный калькулятор с функцией графика для справки. Проведите касательную линию через заданную точку (помните, что касательная линия проходит через эту точку и имеет такой же наклон, как и график).
   • Пример 1: Параболический рисунок. Проведите касательную линию через точку (-6, -1).
     Даже если вы не знаете уравнение касательной, вы все равно можете видеть, что его наклон отрицательный, а ордината отрицательная (намного ниже параболической вершины с ординатой -5,5). Если найденный окончательный ответ не соответствует этим деталям, значит, в ваших расчетах есть ошибка, и вам нужно проверить еще раз.

2. 

   
   
   Получите первую производную, чтобы найти уравнение наклон касательной. С функцией f (x) первая производная f '(x) представляет собой уравнение для наклона касательной в любой точке на f (x). Есть много способов взять производные. Вот простой пример использования правила мощности:
   • Пример 1 (продолжение): График представлен функцией.
     Вспоминая правило мощности при взятии производной:.
     Первая производная функции = f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. Заменяя x на любое значение a, уравнение даст нам наклон касательной функции f (x) в точке x = a.

3. 

   
   
   Введите значение x рассматриваемой точки. Прочтите задачу, чтобы найти координаты точки, чтобы найти касательную. Введите координату этой точки в f '(x). Полученный результат представляет собой наклон касательной в указанной выше точке.
   • Пример 1 (продолжение): В статье упоминается точка (-6, -1). Используя напряжение диагонали -6 в f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     Наклон касательной составляет -3.

4. 

   
   
   Напишите уравнение касательной линии в виде прямой, зная коэффициент угла и точку на ней. Это линейное уравнение записывается как. Внутри, м - наклон и точка на касательной. Теперь у вас есть вся информация, необходимая для написания касательного уравнения в этой форме.
   • Пример 1 (продолжение):
     Наклон касательной равен -3, поэтому:
     Касательная проходит через точку (-6, -1), поэтому окончательное уравнение выглядит так:
     Короче говоря, мы можем:
     

5. 

   Графическое подтверждение. Если у вас есть графический калькулятор, постройте исходную функцию и касательную линию, чтобы проверить правильность ответа. Если вы делаете расчеты на бумаге, используйте нарисованные ранее графики, чтобы убедиться, что в вашем ответе нет явных ошибок.
   • Пример 1 (продолжение): Первоначальный рисунок показывает, что касательная линия имеет отрицательные коэффициенты угла, а смещение намного ниже -5,5. Только что найденное уравнение касательной имеет вид y = -3x -19, что означает, что -3 - это наклон угла, а -19 - ордината.

6. 

   Попробуйте решить более сложную задачу. Мы снова проходим все шаги, указанные выше.На данный момент цель состоит в том, чтобы найти касательную к точке x = 2:
   • Найдите первую производную, используя правило мощности :. Эта функция даст нам наклон касательной.
   • Для x = 2 найти. Это наклон при x = 2.
   • Обратите внимание, что на этот раз у нас нет точки, а только координата x. Чтобы найти координату y, замените x = 2 в исходной функции :. Оценка (2,27).
   • Напишите уравнение касательной, проходящей через точку с определенным коэффициентом угла:
     
     При необходимости уменьшите до y = 25x - 23.
   рекламное объявление

Метод 2 из 2. Решите связанные проблемы

1. 

   Найдите крайность на графике. Это точки, в которых график приближается к локальному максимуму (точка выше соседних точек с обеих сторон) или локальному минимуму (ниже, чем соседние точки с обеих сторон). Касательная линия всегда имеет нулевой коэффициент в этих точках (горизонтальная линия). Однако нулевого коэффициента недостаточно, чтобы сделать вывод о том, что это крайняя точка. Вот как их найти:
   • Возьмите первую производную функции, чтобы получить f '(x), угол наклона касательной.
   • Решите уравнение f '(x) = 0, чтобы найти крайнюю точку потенциал.
   • Взяв квадратичную производную, чтобы получить f '(x), уравнение сообщает нам скорость изменения наклона касательной.
   • На каждом потенциальном экстремуме измените координату а в f '' (x). Если f '(a) положительно, у нас есть локальный минимум в а. Если f '(a) отрицательно, у нас есть точка локального максимума. Если f '(a) равно 0, это не будет крайностью, это точка перегиба.
   • Если макс или мин достигнут при а, найдите f (a), чтобы определить пересечение.

2. 

   Найдите уравнения нормали. «Нормальная» линия кривой в данной точке a проходит через эту точку и перпендикулярна касательной. Чтобы найти уравнение для нормали, используйте следующее: (наклон нормали) (наклон нормали) = -1, когда они проходят одну и ту же точку на графике. В частности:
   • Найдите f '(x), наклон касательной.
   • Если в данной точке имеем x = а: найти f '(a), чтобы определить наклон в этой точке.
   • Рассчитайте, чтобы найти коэффициент нормали.
   • Напишите уравнение для перпендикуляра, зная коэффициенты угла и точку, через которую он проходит.
   рекламное объявление

Совет

• При необходимости перепишите исходное уравнение в стандартной форме: f (x) = ... или y = ...