Автор:
Peter Berry
Дата создания:
13 Июль 2021
Дата обновления:
1 Июль 2024
Содержание
Когда две линии пересекаются в двухмерной системе координат, они встречаются только в одной точке, представленной парой координат x и y. Поскольку обе линии проходят через эту точку, пары координат x и y должны удовлетворять обоим уравнениям. С помощью некоторых дополнительных методов вы можете найти пересечение параболы и других квадратичных кривых, проделав то же самое.
Шаги
Метод 1 из 2. Найдите пересечение двух линий
Напишите уравнение для каждой строки с буквой y слева. При необходимости переключитесь на уравнение, чтобы только y находился по одну сторону от знака равенства. Если в уравнении вместо y используется f (x) или g (x), разделите этот член. Помните, что вы можете отменить условия, выполнив одинаковые вычисления для обеих сторон.
- Если в проблеме не отображаются уравнения, найдите их в имеющейся информации.
- Например: Две линии имеют уравнения и. Во втором уравнении, чтобы в левой части было только y, прибавьте 12 к обеим сторонам:
Уравняйте правые части двух уравнений. Мы ищем точку, в которой две линии имеют одинаковые координаты x, y; Здесь пересекаются две линии. Оба уравнения имеют только y в левой части, поэтому их правая часть будет одинаковой. Напишите новое уравнение, чтобы продемонстрировать это.- Например: Мы знаем и, следовательно.
Решите относительно x. В новом уравнении есть только одна переменная x. Решение уравнений алгебраическим методом означает выполнение одинаковых вычислений с обеих сторон. Преобразуйте все члены с x в одну сторону уравнения, затем преобразуйте в x = __. (Если вы не можете, прокрутите вниз до конца этого раздела).- Например:
- Добавьте к двум сторонам:
- Вычтем 3 с двух сторон:
- Разделите две стороны на 3:
- .
Используйте значение x, чтобы найти y. Выберите уравнение одной из двух линий. Подставьте найденное значение x в это уравнение. Решите относительно y арифметическим методом.- Например: а также
Проверить результат. Вы должны заменить значение x в другом уравнении, чтобы увидеть, получите ли вы тот же результат. Если вы получили другое значение y, вы должны проверить свою работу.
- Например: а также
- Таким образом, мы получаем то же значение y. Решение не содержит ошибок.
Напишите пару координат x, y перекрестка. Теперь вы нашли пару координат x и y в месте пересечения двух линий. Запишите эту точку в парах координат с предшествующим значением x.
- Например: а также
- Две прямые пересекаются в точке (3,6).
Работа с необычными случаями. Некоторые уравнения невозможно решить, чтобы найти x. Это не обязательно потому, что вы сделали ошибку. Уравнения пар линий могут иметь необычное решение в следующих двух случаях:
- Если две линии параллельны, они не пересекаются. Члены x будут исключены, а уравнение упрощено до ложного утверждения (например). Напишите ответ как "две линии не пересекаются"или"нет реального решения’.
- Если два уравнения представляют одну и ту же линию, они «пересекаются» во всех точках. Члены x будут удалены, а уравнение упрощено до истинного (например) утверждения. Напишите ответ как "две линии перекрываются’.
Метод 2 из 2: математические задачи с квадратными уравнениями
Узнавайте квадратные уравнения. В квадратном уравнении одна или несколько переменных имеют степени (или), и никакие переменные не имеют более высоких степеней. Графики этих уравнений представляют собой кривые, поэтому они могут разрезать линию в 0, 1 или 2 точках. Этот раздел проведет вас через поиск пересечений в проблеме.
- Расширение уравнений из скобок, чтобы проверить, являются ли они квадратичными. Например, есть квадратичная форма, потому что она расширяется до
- Уравнения окружностей и эллипсов имеют обе срок и. Если у вас возникли проблемы с этими частными случаями, см. Советы ниже.
Напишите уравнения в соответствии с y. При необходимости измените каждое уравнение так, чтобы только y находился по одну сторону от знака равенства.
- Например: Найдите точку пересечения и.
- Перепишем квадратное уравнение над y:
- а также.
- В этом примере есть квадратное и линейное уравнение. Аналогично решаются задачи с двумя квадратными уравнениями.
Объедините два уравнения, чтобы сократить y. После преобразования двух уравнений в y стороны без y будут равны.
- Например: а также
Преобразуйте новое уравнение так, чтобы одна сторона была равна нулю. Используйте алгебраический метод, чтобы преобразовать все термины в одну сторону. Итак, проблема готова к следующему шагу.
- Например:
- Вычтем x с двух сторон:
- Вычтем 7 из двух частей:
Решите квадратные уравнения. После переключения на нулевое уравнение у вас есть три решения, и вам решать, какое из них выбрать. Вы можете узнать, как использовать формулу корней квадратного уравнения или метод «дополнения в квадрате», или посмотреть следующие примеры факторизации:
- Например:
- Цель факторизации - найти два множителя, умножение которых дает уравнение. Начиная с первого члена, мы знаем, что его можно разложить на x и x. Запишем как (x) (x) = 0.
- Последний член -6. Перечислите каждую пару множителей, которые будут равны -6: ,,, и при умножении.
- Член в середине - x (может быть записан как 1x). Сложите каждый фактор вместе, пока не получите результат 1. Пара факторов верна, потому что.
- Введите эту пару факторов в пустые поля своего ответа :.
Обратите внимание, что у нас есть два решения x. Если вы решите ее слишком быстро, вы можете найти только одно решение и не догадаться, что есть второе решение. Вот как найти два решения x для линий, пересекающих две точки:
- Например (факторный анализ): Наконец, у нас есть уравнение. Если любой из множителей равен 0, уравнение удовлетворяется. Одно из решений - →. Другое решение - →.
- Например (формула квадратного корня или добавление в квадрат): если вы используете любой из этих способов решения уравнения, появится знак квадратного корня. Например, уравнение принимает вид. Помните, что квадратный корень можно просто превратить в два разных решения:, а также . Напишите два уравнения для каждого случая и решите относительно соответствующего x.
Решайте проблемы одним решением или без решения. Две линии, которые встречаются одновременно, имеют только одно пересечение, а две линии, которые никогда не соприкасаются, не будут пересекаться. Вот как это узнать:
- Одно решение: проблему можно разложить на два идентичных фактора ((x-1) (x-1) = 0). При замене квадратной формулы у члена есть корень. Вам нужно решить только одно уравнение.
- Нет реальных решений: ни один фактор не может удовлетворить требование (сумма по члену посередине). При замене квадратной формулы у вас будет отрицательное число ниже квадратного корня (например). Напишите ответ как «нет решения».
Подставьте значения x в исходное уравнение. Получив значение x пересечения, замените его одним из исходных уравнений. Решите, чтобы найти значение y. Если у вас есть два значения x, найдите два значения y.
- Например: Мы находим два решения, и. В любом случае есть уравнение. Замените и, затем решите каждое уравнение, чтобы найти и.
Запишите координаты точки. Теперь запишите свои ответы в виде координат в соответствии со значениями x и y перекрестка. Если у вас есть два ответа, не забудьте записать значения x и y парами.
- Например: Когда вместо этого у нас есть координаты перекрестка (2, 9). Сделайте то же самое для второго решения, которое даст координаты другого перекрестка. (-3, 4).
Совет
- Уравнения окружностей и эллипсов имеют член а также какой-то класс. Чтобы найти точку пересечения круга и прямой, решите относительно x в линейном уравнении. Замените решение на x в уравнении круга, и вы получите квадратное уравнение, которое легче решить. Эти проблемы могут иметь 0, 1 или 2 решения, как описано в методе выше.
- Круги и параболические (или другие квадратичные) могут иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения. Найдите переменную со степенью двойки в обоих уравнениях - скажем, x. Решите и замените свое решение другим уравнением. Решите относительно y, чтобы получить 0, 1 или 2 решения. Замените каждое решение обратно на исходное квадратное уравнение, чтобы найти x. Каждое из этих уравнений может иметь 0, 1 или 2 решения.
