Анализируйте квадратные уравнения на множители - Чаевые

Видео: 5 способов решения квадратного уравнения ★ Как решать квадратные уравнения?

Содержание

Шаги
Совет
Что вам нужно

В математике факторный анализ заключается в поиске чисел или выражений с произведением заданного числа или уравнения. Факторный анализ - полезный навык для решения основных алгебраических задач: умение умело разложить на множители почти критично, когда дело доходит до работы. с алгебраическими уравнениями или другими полиномиальными формами. Факторный анализ может использоваться для сокращения алгебраических выражений, что упрощает задачу. Благодаря этому вы даже можете исключить некоторые возможные ответы намного быстрее, чем решать вручную.

Шаги

Метод 1 из 3: разбейте числа и основные алгебраические выражения на множители

Поймите определение факторного анализа при применении к отдельным числам. Хотя концептуально просто, на практике применение сложных уравнений может быть довольно сложной задачей. Поэтому самый простой концептуальный подход к факторному анализу - начать с отдельных чисел, а затем перейти к простым уравнениям, прежде чем переходить к более сложным приложениям. Фактор для данного числа являются числами с произведением того же числа. Например, 1, 12, 2, 6, 3 и 4 являются множителями 12, поскольку 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4 равны 12.
- Другими словами, множители данного числа - это числа. поделен по этому номеру.
- Можете ли вы найти полный коэффициент 60? Число 60 используется для разных целей (минуты в часе, секунды в минуте и т. Д.), Потому что оно делится на множество чисел.
  - У числа 60 есть следующие множители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
Помните, что выражения, содержащие переменные, также можно факторизовать. Помимо независимых чисел, переменные с арифметическими коэффициентами также могут быть факторизованы. Для этого нам просто нужно найти множители коэффициента переменной. Знание того, как факторизовать анализ, очень полезно при простом преобразовании алгебраических уравнений, содержащих переменные.
- Например, 12x можно переписать в результаты 12 и x. Можно записать 12x как 3 (4x), 2 (6x) и т. Д. И использовать любой коэффициент, который лучше всего подходит для предполагаемого использования 12.
  - Вы можете даже пойти дальше 12-кратного анализа много раз. Другими словами, нет необходимости останавливаться на 3 (4x) или 2 (6x) - мы можем проанализировать 4x и 6x, чтобы получить 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) соответственно. Эта формула эквивалентна.
Примените ассоциативные свойства умножения для факторизации алгебраических уравнений. Используя свои знания в области анализа независимых чисел и коэффициентов на факторы, вы можете упростить простые алгебраические уравнения, найдя общие множители чисел и переменных, включенных в уравнение. Часто, чтобы уравнение было как можно более простым, мы пытаемся найти наибольший общий делитель. Это простое преобразование возможно благодаря ассоциативному характеру умножения - для каждого числа a, b и c мы имеем: а (Ь + с) = ab + ac.
- Рассмотрим следующий пример проблемы. Чтобы разложить алгебраическое уравнение 12x + 6 на множитель, сначала мы находим наибольший общий делитель 12x и 6. 6 - это наибольшее число, на которое делятся как 12x, так и 6, поэтому мы можем просто преобразовать уменьшите уравнение до 6 (2x + 1).
- Тот же процесс применяется к уравнениям с отрицательными знаками и дробями. Например, x / 2 + 4 можно просто преобразовать в 1/2 (x + 8), а -7x + -21 можно разложить до -7 (x + 3).
рекламное объявление

Метод 2 из 3: Анализ квадратных уравнений на множители

Убедитесь, что уравнение имеет квадратную форму (ax + bx + c = 0). Квадратное уравнение имеет вид ax + bx + c = 0, где a, b и c - константы, а a не равно нулю (обратите внимание, что a мая равно 1 или -1). Если уравнение с одной переменной (x) содержит один или несколько членов, которые содержат квадрат x, вы обычно можете преобразовать основной алгебраический оператор на одной стороне знака равенства в 0 и позволить ax и так далее. на другой стороне.
- Например, алгебраическое уравнение 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 может быть сокращено до x + 6x + 9 = 0, что является квадратичной формой.
- Уравнения, в которых x имеет более высокий показатель степени, например x, x и т. Д. не может быть квадратичным. Они квадратичные, четвертичные, ... если уравнение не может быть сокращено путем исключения членов, содержащих степени 3 или более x.
При использовании квадратных уравнений, когда a = 1, мы разлагаемся на (x + d) (x + e), где d × e = c и d + e = b. Если квадратное уравнение имеет вид x + bx + c = 0 (другими словами, если коэффициент при x = 1), есть вероятность (но не уверенность), что мы можем использовать относительно быстрое вычисление. это уравнение легко разложить на множители. Найдите два числа, равных c а также сумма равна b. Найдя d и e, замените их следующим выражением: (х + г) (х + е). При умножении эти два элемента дают нам квадратное уравнение, приведенное выше, другими словами, они являются факторами уравнения.
- Возьмем, например, квадратное уравнение x + 5x + 6 = 0. 3 и 2 имеют произведение 6 и в то же время имеют в сумме 5. Следовательно, мы можем просто преобразовать уравнение в (x + 3) х + 2).
- Это базовое быстрое исправление будет немного другим, если само уравнение будет немного другим:
  - Если квадратное уравнение имеет вид x-bx + c, ваш ответ будет иметь вид: (x - _) (x - _).
  - Если он имеет форму x + bx + c, ваш ответ будет: (x + _) (x + _).
  - Если это в x-bx-c, ваш ответ будет в форме (x + _) (x - _).
- Примечание: в пробелах могут быть дроби или десятичные числа. Например, уравнение x + (21/2) x + 5 = 0 разлагается на (x + 10) (x + 1/2).
Если возможно, проведите факторный анализ путем тестирования. Вы не поверите, но с простым квадратным уравнением один из общепринятых методов факторизации - просто взглянуть на проблему, а затем взвесить все возможные ответы до тех пор, пока правильный ответ. Он также известен как метод тестирования.Если уравнение имеет вид ax + bx + c и a> 1, ваш факторный анализ будет иметь форму (dx +/- _) (ex +/- _), где d и e - константы другой не равен a. d или e (или оба) мая равно 1, хотя это не обязательно. Если оба равны 1, вы бы в основном использовали быструю работу, показанную выше.
- Рассмотрим следующий пример проблемы. На первый взгляд, 3x - 8x + 4 выглядит довольно устрашающе. Однако, как только вы поймете, что 3 имеет только два фактора (3 и 1), проблема становится проще, потому что мы знаем, что ответ должен иметь форму (3x +/- _) (x +/- _). В этом случае замена -2 в обоих пробелах дает правильный ответ. -2 × 3x = -6x и -2 × x = -2x. -6x и -2x в сумме равны -8x. -2 × -2 = 4, поэтому видно, что элементы, разобранные в круглых скобках, дают нам исходное уравнение.
Решите проблему, заполнив квадрат. В некоторых случаях квадратные уравнения можно быстро и легко перемножить с помощью специального алгебраического тождества. Любое квадратное уравнение вида x + 2xh + h = (x + h). Следовательно, если в уравнении b является двойным квадратным корнем из c, уравнение можно разложить на (x + (sqrt (c))).
- Например, для этой формы подойдет уравнение x + 6x + 9. 3 равно 9, а 3 × 2 равно 6. Итак, мы знаем, что факторизационная форма этого уравнения равна (x + 3) (x + 3) или (x + 3).
Решите квадратные уравнения с множителями. В любом случае, как только квадратное выражение факторизовано, вы можете найти возможный ответ на значение x, присвоив каждому множителю ноль и решив его. Поскольку вы ищете такое значение x, при котором уравнение равно нулю, любой x, при котором коэффициент равен нулю, будет возможным решением этого уравнения.
- Вернитесь к уравнению x + 5x + 6 = 0. Оно разлагается до (x + 3) (x + 2) = 0. Когда один коэффициент равен нулю, все уравнение становится равным нулю. Возможные решения x - числа, которые делают (x + 3) и (x + 2) равными 0, -3 и -2 соответственно.
Проверьте свои ответы - некоторые могут быть экзотическими! Когда вы найдете возможные решения x, замените их исходным уравнением, чтобы определить, верны они или нет. Иногда ответ находит нет проблем при замене исходное уравнение становится нулевым. Мы называем эти решения Экзотический и устранить их.
- Заменим -2 и -3 на x + 5x + 6 = 0. Во-первых, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Да, поэтому -2 - допустимое решение уравнения.
- Теперь давайте попробуем с -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Это также верно, и, следовательно, -3 также является допустимым решением уравнения.
рекламное объявление

Метод 3 из 3. Анализируйте другие типы уравнений на факторы.

Если уравнение имеет форму a-b, разложите его на (a + b) (a-b). Уравнение с двумя переменными анализируется иначе, чем основное квадратное уравнение. Любое уравнение a-b, в котором a и b отличны от нуля, будет разложено на (a + b) (a-b).
- Например, уравнение 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Если уравнение имеет вид a + 2ab + b, разложите его на (a + b). Обратите внимание, что если трехчлен имеет форму-2ab + b, форма факторизации будет немного отличаться: (a-b).
- Уравнения 4x + 8xy + 4y можно переписать как 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Теперь мы видим, что оно находится в правильной форме, и можем с уверенностью сказать, что факторизационная форма этого уравнения равна (2x + 2y).
Если уравнение имеет форму a-b, разложите его на (a-b) (a + ab + b). Наконец, следует сказать, что троичные уравнения и уравнения даже более высокого порядка можно факторизовать. Однако процесс анализа быстро станет невероятно сложным.
- Например, 8x - 27y разлагается на (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
рекламное объявление

Совет

a-b можно факторизовать, а a + b - нет.
Помните, как разложить константы на множители - это может быть полезно.
Обратите внимание на дроби в процессе факторизации, обращайтесь с ними правильно и адекватно.
С трезубцем x + bx + (b / 2) его факторизация будет (x + (b / 2)) (вы можете столкнуться с этой ситуацией при завершении квадрата).
Помните, что a0 = 0 (свойство умножено на ноль).