Содержание

• Шагать
• Метод 1 из 2: извлечение корней с помощью простых факторов
• Метод 2 из 2: поиск квадратного корня без калькулятора
• С длинным делением
• Понять процедуру
• Советы
• Предупреждения

До появления калькуляторов и студентам, и профессорам приходилось вычислять квадратные корни ручкой и бумагой. В то время были разработаны различные методы для решения этой иногда сложной работы, некоторые из которых дают приблизительную оценку, а другие рассчитывают точную стоимость. Читайте дальше, чтобы узнать, как найти квадратный корень из числа за несколько простых шагов.

Шагать

Метод 1 из 2: извлечение корней с помощью простых факторов

1. Разделите ваше число на коэффициенты мощности. Этот метод использует множители числа, чтобы найти квадратный корень числа (в зависимости от числа, это может быть точный ответ или оценка). В факторы данного числа - это любая последовательность чисел, которые умножаются вместе, чтобы сформировать это конкретное число. Например, вы можете сказать, что множители 8 равны 2 и 4, потому что 2 × 4 = 8. С другой стороны, полные квадраты - это целые числа, которые являются произведением других целых чисел. Например, 25, 36 и 49 - это полные квадраты, потому что они равны 5, 6 и 7. Коэффициенты второй мощности, как вы уже поняли, являются множителями, которые также являются полными квадратами. Чтобы найти квадратный корень с использованием простых множителей, сначала попробуйте разделить число на его вторые коэффициенты мощности.
   • Возьмем следующий пример. Мы собираемся найти квадратный корень из 400. Для начала разделим число на коэффициенты мощности. Поскольку 400 делится на 100, мы знаем, что оно делится без остатка на 25 - точный квадрат. Быстрый запоминание говорит нам, что 400/25 = 16,16 также бывает идеальным квадратом. Таким образом, кубические множители 400 равны 25 и 16 потому что 25 × 16 = 400.
   • Запишем это как: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Извлеките квадратный корень из второго коэффициента мощности. Правило произведения квадратных корней гласит, что для любого данного числа а а также б, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Благодаря этому свойству теперь мы можем взять квадратные корни из множителей квадратов и умножить их вместе, чтобы получить ответ.
   • В нашем примере мы извлекаем квадратные корни из 25 и 16. См. Ниже:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Кв. (25) × Кв. (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Если ваш номер не может быть точно разложен, упростите его. На самом деле числа, из которых вы хотите определить квадратные корни, не будут хорошими округленными числами с хорошими квадратами, такими как 400. В этих случаях может оказаться невозможным получить в качестве ответа целое число. Вместо этого, используя все коэффициенты мощности, которые вы можете найти, вы можете определить ответ как меньший и более простой в использовании квадратный корень. Вы делаете это, уменьшая число до комбинации коэффициентов мощности и других факторов, а затем упрощая его.
   • В качестве примера возьмем квадратный корень из 147. 147 не является произведением двух полных квадратов, поэтому мы не можем получить хорошее целочисленное значение. Но это произведение полного квадрата и другого числа - 49 и 3. Мы можем использовать эту информацию, чтобы написать наш ответ простейшими словами:
     • Площадь (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Кв (3)
4. При необходимости упростите. Используя квадратный корень в простейших выражениях, обычно довольно легко получить приблизительную оценку ответа, оценив оставшиеся квадратные корни и умножив их. Один из способов улучшить свои догадки - найти идеальные квадраты по обе стороны от числа в квадратном корне. Вы знаете, что десятичное значение числа в вашем квадратном корне находится где-то между этими двумя числами, поэтому ваше предположение также должно быть между этими числами.
   • Вернемся к нашему примеру. Поскольку 2 = 4 и 1 = 1, мы знаем, что Sqrt (3) находится между 1 и 2 - вероятно, ближе к 2, чем 1. По нашим оценкам, это 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Если мы проверим это с помощью калькулятора, мы увидим, что мы довольно близки к ответу: 12,13.
     • Это также работает для больших чисел. Например, sqrt (35) составляет примерно от 5 до 6 (вероятно, ближе к 6). 5 = 25 и 6 = 36,35 находится между 25 и 36, поэтому квадратный корень будет между 5 и 6. Поскольку 35 чуть меньше 36, мы можем с некоторой уверенностью сказать, что квадратный корень из него просто меньше 6. Проверка с помощью калькулятора дает нам ответ около 5,92 - мы были правы.
5. Кроме того, в качестве первого шага вы можете упростить число до наименьший общий множитель. Искать коэффициенты мощности нет необходимости, если вы можете легко найти простые множители числа (множители, которые одновременно являются простыми числами). Запишите число в виде наименьших общих кратных. Затем поищите между множителями совпадающие пары простых чисел. Когда вы найдете два совпадающих простых множителя, удалите их из квадратного корня и поместите а из этих чисел вне знака квадратного корня.
   • Например, с помощью этого метода мы определяем квадратный корень из 45. Мы знаем, что 45 = 9 × 5 и что 9 = 3 × 3. Итак, мы можем записать квадратный корень следующим образом: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто удалите 3 и поместите 3 вне квадратного корня, чтобы получить упрощенный квадратный корень: (3) Sqrt (5). Теперь вы легко можете сделать оценку.
   • Последний пример; определяем квадратный корень из 88:
     • Площадь (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). В нашем квадратном корне несколько двойок. Поскольку 2 простое число, мы можем удалить пару и поместить 2 вне корня.
     • = Наш квадратный корень в простейшем виде равен (2) Sqrt (2 × 11) или (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Теперь мы можем подойти к Sqrt (2) и Sqrt (11) и найти приблизительный ответ, если захотим.

Метод 2 из 2: поиск квадратного корня без калькулятора

С длинным делением

1. Разделите цифры своего номера на пары. Этот метод похож на длинное деление, которое позволяет разделить точный квадратный корень из числа цифра за цифрой. Хотя это и не обязательно, разбиение числа на работоспособные части может облегчить решение, особенно если оно длинное. Сначала нарисуйте вертикальную линию, разделяющую рабочую область на 2 области, затем более короткую линию в верхней части правой области, разделив ее на меньшую верхнюю часть и большую часть внизу. Затем разделите число на пары чисел, начиная с десятичной точки. Согласно этому правилу, 79520789182.47897 становится «7 95 20 78 91 82,47 89 70». Напишите это число в верхнем левом углу.
   • В качестве примера давайте вычислим квадратный корень из 780,14. Разделите свое рабочее пространство, как указано выше, и напишите «7 80, 14» в верхнем левом углу. Ничего страшного, если слева будет только одно число вместо двух. Затем вы записываете ответ (квадратный корень из 780,14) вверху правой области.
2. Найдите наибольшее целое число п квадрат которого меньше или равен самой левой цифре или числу. Найдите наибольший квадрат, который меньше или равен этому числу, а затем найдите квадратный корень из этого квадрата. Это число п. Напишите это в правом верхнем углу и напишите квадрат числа n в нижнем квадранте этой области.
   • В нашем примере самая левая цифра - это число 7. Поскольку мы знаем, что 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, мы можем сказать, что n = 2, потому что это наибольшее целое число, квадрат которого меньше или равен 7. Напишите 2 в правом верхнем квадранте. Это первая цифра ответа. Напишите 4 (квадрат 2) в правом нижнем квадранте. Этот номер важен для следующего шага.
3. Вычтите число, которое вы рассчитали крайней левой цифры или числа. Как и в случае с длинным делением, следующим шагом будет вычитание квадрата из числа, которое мы только что использовали для расчета. Напишите это число под крайним левым числом и вычтите их. Напишите ответ ниже.
   • В нашем примере мы пишем 4 под 7 и вычитаем его. Это дает 3 в ответ.
4. Переместите следующий номер вниз. Поместите это рядом со значением, которое вы нашли при предыдущем редактировании. Умножьте число вверху справа на два и запишите его внизу справа. Оставьте место рядом с числом, которое вы только что записали, для суммы, которую вы сделаете на следующем шаге. Напишите здесь "_ × _ =" ".
   • В нашем примере следующее число - «80». Напишите «80» рядом с цифрой 3 в левом квадранте. Затем умножьте число в правом верхнем углу на 2. Это число равно 2, поэтому 2 × 2 = 4. Запишите «4» в правом нижнем углу, а затем _×_=.
5. Введите цифры справа. В пустое пространство суммы (справа) введите наибольшее целое число, которое сделает результат суммы умножения справа меньше или равным текущему числу слева.
   • В нашем примере мы вводим 8, и это дает 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Это больше, чем 380. Итак, 8 слишком велико, а 7, вероятно, нет. Заполните 7 и решите: 4 (7) × 7 = 329. 7 хорошо, потому что 329 меньше 380. Напишите 7 вверху справа. Это вторая цифра квадратного корня 780,14.
6. Вычтите только что вычисленное число из текущего числа слева. Таким образом, вы вычитаете результат умножения справа из текущего ответа слева. Напишите свой ответ прямо под ним.
   • В нашем примере мы вычитаем 329 из 380, и это дает 51 в результате.
7. Повторите шаг 4. Переместите следующую пару чисел вниз от 780,14. Когда вы дойдете до запятой, напишите ее в ответе справа. Затем умножьте верхнее правое число на 2 и напишите ответ рядом с ("_ × _"), как указано выше.
   • В нашем ответе мы теперь пишем запятую, потому что мы также сталкиваемся с этим в 780.14. Переместите следующую пару (14) вниз по левому квадранту. 27 x 2 = 54, поэтому мы пишем «54 _ × _ =» в нижнем правом квадранте.
8. Повторите шаги 5 и 6. Найдите наибольшее число, которое дает ответ, который меньше или равен текущему числу слева. Решать.
   • В нашем примере 549 × 9 = 4941, что меньше или равно числу слева (5114). 549 × 10 = 5490, что слишком много, поэтому наш ответ - 9. Запишите 9 в качестве следующего верхнего правого числа и вычтите результат умножения из левого числа: 5114-4941 = 173.
9. Чтобы результат был точным, повторяйте предыдущую процедуру, пока не найдете ответ с нужным количеством десятичных знаков (сотых, тысячных).

Понять процедуру

1. Рассмотрим число, квадратный корень которого вы хотите вычислить, как площадь S квадрата. Поскольку площадь квадрата равна L, где L - длина одной из его сторон, поэтому, найдя квадратный корень из вашего числа, вы попытаетесь вычислить длину L стороны этого квадрата.
2. Дайте каждой цифре вашего ответа букву. Введите переменную A как первую цифру L (квадратный корень, который мы пытаемся вычислить). B - вторая цифра, C - третья и так далее.
3. Дайте букву каждой «паре цифр» числа, с которого вы начинаете. Задайте переменную S_а к первой паре цифр в S (начальное значение), S._б ко второй паре цифр и т. д.
4. Разберитесь в взаимосвязи между этим методом и длинным делением. Этот метод нахождения квадратного корня представляет собой, по сути, деление в длину, когда вы делите начальное значение на его квадратный корень и «даете» квадратный корень в качестве ответа. Как и в случае с длинным делением, когда вас интересует только следующая цифра за раз, вас интересуют только следующие две цифры за раз (которые соответствуют следующей цифре квадратного корня).
5. Найдите наибольшее число, квадрат которого меньше или равен S._а является. Тогда первая цифра A в нашем ответе будет наибольшим целым числом, квадрат которого не больше S._а (A такое, что A² ≤ Sa (A + 1) ²). В нашем примере S_а = 7 и 2² ≤ 7 3², поэтому A = 2.
   • Обратите внимание, что если вы разделите 88962 на 7 с помощью длинного деления, первый шаг будет равен: вы сначала имеете дело с первой цифрой 88962 (8), и вы хотите, чтобы наибольшая цифра умножалась на 7, которая меньше или равна 8. По сути, вы определять d такое, что 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). В этом случае d равно 1.
6. Визуализируйте квадрат, площадь которого вы хотите найти. Ваш ответ - квадратный корень из начального значения - L, который описывает длину квадрата с площадью S (начальное значение). Значения для A, B и C представляют собой цифры в значении L. Другой способ сказать это: для двухзначного ответа 10A + B = L, а для трехзначного ответа 100A + 10B. + C = L и так далее.
   • В нашем примере (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Помните, что 10A + B представляет наш ответ L вместе с B в позиции единиц и A в позиции десятков. Например, если A = 1 и B = 2, то 10A + B - это число 12. (10A + B) ² это площадь всего квадрата, а 100A² площадь самого большого внутреннего квадрата, B² это площадь наименьшего квадрата и 10А × В - площадь каждого из оставшихся прямоугольников. С помощью этой долгой и сложной процедуры мы можем найти площадь всего квадрата, добавив площади квадратов и прямоугольников, которые являются его частью.
7. Вычтите A² из S._а. Принесите пару цифр (С._б) вниз от номера S.S._а С._б - это почти общая площадь квадрата, из которой вы вычли площадь самого большого внутреннего квадрата. Остаток - это, скажем, число N1, которое мы получили на шаге 4 (в нашем примере N1 = 380). N1 равно 2 × 10A × B + B² (площадь двух прямоугольников плюс площадь маленького квадрата).
8. Посмотрите на N1 = 2 × 10A × B + B², также записанное как N1 = (2 × 10A + B) × B. В нашем примере вы уже знаете N1 (380) и A (2), поэтому теперь вам нужно найти B. B, вероятно, не целое число, поэтому вам нужно фактически найти наибольшее целое число B такое, что (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Итак, теперь у вас есть: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Решите уравнение. Чтобы решить это уравнение, умножьте A на 2, сдвиньте его на десять (умножьте на 10), поместите B в единицы и умножьте результат на B. Другими словами, (2 × 10A + B) × B. именно то, что вы делаете, когда пишете «N_ × _ =» (с N = 2 × A) в нижнем правом квадранте на шаге 4. На шаге 5 вы определяете наибольшее целое число B, которое умещается под линией, так что (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Вычтите площадь (2 × 10A + B) × B из общей площади. Это дает площадь S- (10A + B) ², которую вы еще не приняли во внимание (и которую вы используете для вычисления следующих чисел таким же образом).
11. Чтобы вычислить следующую цифру C, повторите процедуру. Переместите следующую пару чисел из S вниз (S_c), чтобы переместить N2 влево, и найдите самый большой C, чтобы теперь у вас было: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (равно удвоенному двузначному числу «AB», за которым следует by "_ × _ =" Теперь определите наибольшее число, которое вы можете ввести здесь, что даст вам ответ, который меньше или равен N2.

Советы

• Перемещение запятой на два места (коэффициент 100) перемещает запятую в соответствующем квадратном корне на одну позицию (коэффициент 10).
• В этом примере 1,73 можно рассматривать как «остаток»: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Этот метод работает для любой системы счисления, а не только для десятичной (десятичной) системы.
• Не стесняйтесь размещать расчеты там, где хотите. Некоторые люди пишут его над числом, из которого они хотят вычислить квадратный корень.
• Альтернативный метод следующий: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Например, чтобы вычислить квадратный корень из 780,14, возьмите целое число, квадрат которого ближе всего к 780,14 (28), поэтому = 780,14, x = 28 и y = -3,86. Заполнение и оценка дает нам x + y / (2x), что дает (упрощенные термины) 78207/2800 или около 27,931 (1); следующий член 4374188/156607 или около 27,930986 (5). Каждый член добавляет примерно 3 десятичных знака точности к предыдущему.

Предупреждения

• Обязательно разделите число на пары с десятичной запятой. Разделив 79520789182,47897 на "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "дает неверный результат.