Сложите числа от 1 до N вместе

Видео: Угадываем меняющееся число от 1 до n за 3n – 5 попыток (идея)

Содержание

Шагать
Метод 1 из 1: Часть вторая: Использование суммы от 1 до N, чтобы найти сумму двух целых чисел
Советы
Предупреждения

Целые числа - это целые числа без дробей и десятичных знаков. Если математическая задача требует, чтобы вы вычислили сумму ряда целых чисел от 1 до заданного значения N, тогда нет необходимости добавлять каждое значение вручную. Вместо этого, чтобы сэкономить время и силы, используйте уравнение (N (N + 1)) / 2, где N - наибольшее число в серии.

Шагать

Определите наибольшее целое число как N. При добавлении целых чисел от 1 к заданному числу Н., вы должны определить само N как положительное целое число. N - целое число, поэтому оно не может быть десятичным числом или дробью. N также не должно быть отрицательным.
- В качестве примера предположим, что мы хотим сложить все целые числа от 1 до 100. В данном случае 100 - это значение для N, потому что это последнее число в нашем ряду или, другими словами, наибольшее число в сложении.
Умножьте N (N + 1) и разделите на 2. Когда вы определили значение N, примените это значение к уравнению (N (N + 1)) / 2. Это уравнение находит сумму всех целых чисел от 1 до N.
- В нашем примере мы вводим 100, значение N, в уравнение. (N (N + 1)) / 2 тогда становится (100 (100 + 1)) / 2.
Посчитайте ответ. Конечное значение этого уравнения представляет собой сумму всех чисел от 1 до N.
- Решим этот пример.
  - (100(100 + 1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 =
  - 5050. Сумма всех целых чисел от 1 до 100. 5050.
Узнайте, как выводится уравнение (N (N + 1)) / 2. Еще раз взгляните на проблему с образцом. Разделите эту последовательность 1 + 2 + 3 + 4 ... + 99 + 100 на две группы - от 1 до 50 и одну от 51 до 100. Если вы добавите первое число в первой группе (1) к последнему числу в вторая группа (100), вы получите 101. Вы получите тот же ответ (101) с 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 и так далее. Если мы добавим каждое число в первой группе к соответствующему числу во второй группе, мы получим 50 пар чисел с одинаковой суммой: 101. Итак, 50 x 101 = 5050, сумма целых чисел от 1 до 100. Обратите внимание, что 50 составляет половину от 100, а 101 - это 100 + 1. Фактически, это наблюдение справедливо для суммы любого положительного целого числа - сложение компонентов может быть разделено на две группы, и числа в этих группах могут быть назначены друг другу таким образом, что каждая пара имеет одинаковую сумму. Обратите внимание, что для нечетной последовательности целых чисел остается одно число - это не влияет на окончательный ответ.
- В общем, можно сказать, что для любого числа N сумма чисел от 1 до N равна (N / 2) (N + 1). Упрощенная форма этого уравнения - (N (N + 1)) / 2, которая представляет собой уравнение суммы целых чисел.

Метод 1 из 1: Часть вторая: Использование суммы от 1 до N, чтобы найти сумму двух целых чисел

Решите, добавляете ли вы включающий или исключающий. Часто цель состоит не в том, чтобы суммировать диапазон целых чисел от 1 до заданного числа, но вас попросят найти сумму диапазона целых чисел. между два целых числа N.₁ и н₂, где N₁ > N₂ и оба> 1. Процесс нахождения этой суммы относительно прост, но прежде чем мы начнем, нам нужно решить, является ли сумма включающей или исключающей, другими словами, является ли N₁ и н₂ включает или Только целые числа между ними, потому что в этих случаях процедуры немного отличаются друг от друга.
Для определения суммы целых чисел между двумя числами N.₁ и н₂ сначала мы определяем сумму каждого значения N отдельно и вычитаем ее. В общем, вам просто нужно вычесть сумму меньшего значения N из суммы большего значения N, чтобы найти ответ. тем не мение, как указано выше, важно знать, является ли это добавление включающим или исключающим. Включение сложения требует от вас вычесть 1 из значения N.₂ перед вводом его в уравнение, в то время как исключительное перечисление требует от вас вычесть 1 из значения N.₁.
- Скажем, инклюзивный сумма целых чисел от N.₁ = 100 и N₂ = 75. Другими словами, нам нужно найти сумму ряда 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Для этого мы берем сумму целых чисел от 1 до N₁, и вычтите эту сумму из целых чисел от 1 до N.₂ - 1 (помните, что мы добавляем включительно, поэтому вычтите 1 из N.₂), и решите это так:
  - (N₁(N₁ + 1)) / 2 - ((N₂-1) ((N₂-1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 - (74(75))/2 =
  - 5050 - 5550/2 =
  - 5050–2775 = 2275. Инклюзивная сумма целых чисел от 75 до 100 равна 2275.
- А теперь давай эксклюзивный начать считать. Уравнение остается тем же, за исключением того, что мы вычитаем 1 из N в этом случае₁ вместо Н.₂:
  - ((N₁-1) ((N₁-1) + 1)) / 2 - (N₂(N₂ + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 - (75(76))/2 =
  - 9900/2 – 5700/2 =
  - 4950 - 2850 = 2100. Исключительная сумма целых чисел от 75 до 100 равна 2100.
Понять, почему этот процесс работает. Рассмотрим сумму целых чисел от 1 до 100 как 1 + 2 + 3 ... + 98 + 99 + 100 и сумму целых чисел от 1 до 75 как 1 + 2 + 3 ... + 73 + 74 + 75. . Инклюзивная сумма целых чисел от 75 до 100 означает 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Сумма 1-75 и 1-100 одинаковы до 75 -– в этот момент сумма 1 -75 "останавливается", и сумма 1 - 100 продолжается, с ... 75 + 76 + 77 ... + 99 + 100. Следовательно, вычитая сумму целых чисел от 1 до 75 из суммы целых чисел от 1-100 мы можем отделить сумму целых чисел от 75-100.
- Однако, если мы добавляем включительно, мы должны использовать сумму 1-74 вместо суммы 1-75, чтобы убедиться, что 75 включено в окончательную сумму.
- Аналогичным образом, при сложении исключительно мы используем сумму 1-99 вместо суммы 1-100, чтобы убедиться, что 100 не включены в сумму. Мы можем использовать сумму 1-75, потому что вычитание этой суммы из суммы 1-99 исключает число 75 из нашей окончательной суммы.

Советы

Результатом всегда является целое число, потому что n или n + 1 четно и поэтому может быть разделено на 2.
Вкратце: СУММ (от 1 до n) = n (n + 1) / 2
СУММ (от a до b) = СУММ (от 1 до b) - СУММ (от 1 до a-1).