Содержание

• Шагать
• Метод 1 из 2: Метод первый: перекрестное умножение
• Метод 2 из 2: Метод второй: Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей
• Советы

Рациональная функция - это дробь с одной или несколькими переменными в числителе или знаменателе. Рациональное уравнение - это любое уравнение, которое содержит хотя бы одно рациональное выражение. Как и обычные алгебраические уравнения, рациональные выражения могут быть решены путем применения одной и той же операции к обеим сторонам уравнения до тех пор, пока переменная не будет изолирована с одной стороны от знака равенства. Два специальных метода, перекрестное умножение и поиск наименьшего общего кратного знаменателей, особенно полезны для выделения переменных и решения рациональных уравнений.

Шагать

Метод 1 из 2: Метод первый: перекрестное умножение

1. При необходимости измените уравнение, чтобы убедиться, что по обе стороны от знака равенства стоит дробная часть. Перекрестное умножение - это быстрый метод решения рациональных уравнений. К сожалению, этот метод работает только для рациональных уравнений, у которых есть ровно одно рациональное выражение или дробь по обе стороны от знака равенства. Если это не относится к вашему уравнению, вам, вероятно, понадобятся некоторые алгебраические операции, чтобы получить члены в нужном месте.
   • Например, уравнение (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 можно легко преобразовать в правильную форму перекрестного умножения, добавив x / (- 2) к любой стороне уравнения, в результате чего получится выглядит так: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Помните, что десятичные и целые числа можно преобразовать в дроби, присвоив им знаменатель 1. Например, (x + 3) / 4 - 2,5 = 5 можно переписать как (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, что позволяет применять перекрестное умножение.
   • Некоторые рациональные уравнения не могут быть легко преобразованы в правильную форму. В таких случаях используйте методы, в которых используется наименьшее общее кратное знаменателей.
2. Крестное умножение. Перекрестное умножение просто означает умножение числителя одной дроби на знаменатель другой и наоборот. Умножьте числитель дроби слева от знака равенства на дробь справа. Повторите то же самое с числителем справа и знаменателем дроби слева.
   • Перекрестное умножение работает в соответствии с общепринятыми алгебраическими принципами. Рациональные выражения и другие дроби можно преобразовать в обычные числа, умножив знаменатели. По сути, перекрестное умножение - это удобный сокращенный способ умножения обеих частей уравнения на оба знаменателя дробей. Вы не верите? Попробуйте - вы увидите те же результаты после упрощения.
3. Сделайте два продукта равными друг другу. После перекрестного умножения у вас останутся два произведения. Сделайте эти два члена равными и упростите их, чтобы получить простейшие члены с обеих сторон уравнения.
   • Например, если (x + 3) / 4 = x / (- 2) было вашим исходным рациональным выражением, то после перекрестного умножения оно становится равным -2 (x + 3) = 4x. При желании это можно переписать как -2x - 6 = 4x.
4. Найдите переменную. Используйте алгебраические операции, чтобы найти значение переменной в уравнении. Помните, что если x появляется по обе стороны от знака равенства, то, добавляя или вычитая член x, убедитесь, что есть только x членов с одной стороны от знака равенства.
   • В нашем примере можно разделить обе части уравнения на -2, что дает нам x + 3 = -2x. Вычитание x из обеих частей знака равенства дает нам 3 = -3x. И, наконец, разделив обе части на -3, мы получим -1 = x или также x = -1. Теперь мы нашли x, который решает наше рациональное уравнение.

Метод 2 из 2: Метод второй: Нахождение наименьшего общего кратного (НОК) знаменателей

1. Понять, когда нахождение наименьшего общего кратного знаменателей очевидно. Наименьшее общее кратное знаменателей может использоваться для упрощения рациональных уравнений, что позволяет находить значения их переменных. Нахождение НОК - хорошая идея, если рациональное уравнение не может быть легко переписано в форму, в которой есть только одна дробь или рациональное выражение с каждой стороны от знака равенства. Для решения рациональных уравнений с тремя или более членами НОК являются полезным инструментом. Но для решения рациональных уравнений только с двумя членами перекрестное умножение часто выполняется быстрее.
2. Изучите знаменатель каждой дроби. Найдите наименьшее число, которое полностью делится на любой знаменатель. Это НОК вашего уравнения.
   • Иногда сразу становится очевидным наименьшее общее кратное - наименьшее число, которое полностью делится на каждый из знаменателей. Например, если ваше выражение выглядит как x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, то легко увидеть, что НОК должно делиться на 3, 2 и 6 и, следовательно, равняться 6.
   • Но чаще всего НОК рационального сравнения оказывается вовсе не сразу понятным. В таких случаях пробуйте кратные наибольшего знаменателя, пока не найдете число, включающее кратные других, меньших знаменателей. Часто НОК представляет собой произведение двух знаменателей. Например, возьмите уравнение x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, где НОК равно 8 * 9 = 72.
   • Если один или несколько знаменателей содержат переменную, этот процесс будет несколько сложнее, но отнюдь не невозможен. В этих случаях НОК представляет собой выражение (с переменными), которое полностью соответствует всем знаменателям, а не только одному числу. Например, уравнение 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), где НОК равно 3x (x-1), потому что оно полностью делится на любой знаменатель - деление на (x- 1 ) дает 3x, деление на 3x дает (x-1), а деление на x дает 3 (x-1).
3. Умножьте каждую дробь в рациональном уравнении на 1. Умножение каждого члена на 1 может показаться бесполезным, но здесь есть хитрость. А именно, 1 можно записать в виде дроби - например, 2/2 и 3/3. Умножьте каждую дробь в вашем рациональном уравнении на 1, каждый раз записывая 1 как число или член, умноженный на каждый знаменатель, чтобы получить НОК как дробь.
   • В нашем примере мы можем умножить x / 3 на 2/2, чтобы получить 2x / 6, и умножить 1/2 на 3/3, чтобы получить 3/6. 3x +1/6 уже имеет знаменатель 6 (lcm), поэтому мы можем умножить его на 1/1 или просто оставить.
   • В нашем примере с переменными в знаменателях весь процесс немного сложнее. Поскольку НОК равно 3x (x-1), мы умножаем каждое рациональное выражение на дробь, которая дает 3x (x-1) в качестве знаменателя. Мы умножаем 5 / (x-1) на (3x) / (3x), и это дает 5 (3x) / (3x) (x-1), мы умножаем 1 / x на 3 (x-1) / 3 (x -1), и это дает 3 (x-1) / 3x (x-1), и мы умножаем 2 / (3x) на (x-1) / (x-1), и это, наконец, дает 2 (x-1) / 3х (х-1).
4. Упростите и решите относительно x. Теперь, когда каждый член в вашем рациональном уравнении имеет один и тот же знаменатель, можно исключить знаменатели из уравнения и решить числители. Просто умножьте обе части уравнения на НОК, чтобы избавиться от знаменателей и остались только числители. Теперь это обычное уравнение, которое можно решить для переменной, выделив его по одну сторону от знака равенства.
   • В нашем примере после умножения с использованием 1 в качестве дроби мы получаем 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Можно сложить две дроби, если у них одинаковый знаменатель, поэтому мы можем записать это уравнение как (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, не меняя его значения. Умножьте обе части на 6, чтобы сократить знаменатели, в результате получится 2x + 3 = 3x + 1. Здесь вычтите 1 с обеих сторон, чтобы оставить 2x + 2 = 3x, и вычтите 2x с обеих сторон, чтобы оставить 2 = x, что также может быть записано как x = 2.
   • В нашем примере с переменными в знаменателях уравнение после умножения каждого члена на «1» равно 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( х-1) / 3х (х-1). Умножение каждого члена на НОК позволяет сократить знаменатели, что теперь дает нам 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). При дальнейшем уточнении это становится 15x = 3x - 3 + 2x -2, что может быть снова упрощено как 15x = x - 5. Вычитание x с обеих сторон дает 14x = -5, так что окончательный ответ можно упростить до x = - 5/14.

Советы

• Найдя значение переменной, проверьте свой ответ, введя это значение в исходное уравнение. Если вы правильно поняли значение переменной, вы сможете упростить уравнение до простой правильной теоремы, например 1 = 1.
• Каждое уравнение можно записать в виде рационального выражения; просто поместите его как числитель над знаменателем 1. Таким образом, уравнение x + 3 можно записать как (x + 3) / 1, оба имеют одинаковое значение.