Найдите обратную матрицу 3x3 - Чаевые

Видео: Обратная матрица (2 способа нахождения)

Содержание

Шаги
Совет
Предупреждение

Инверсия часто используется в исчислении для упрощения проблемных задач другими способами. Например, проще умножить на обратную дробь, чем напрямую разделить ее на это число. Это наоборот. Аналогичным образом, поскольку для матрицы нет знаков дроби, вам придется умножить ее обратную матрицу. Вычисление обратной матрицы для матрицы 3x3 может быть очень утомительным, но эту проблему стоит рассмотреть. Вы также можете использовать для этого расширенный графический калькулятор.

Шаги

Метод 1 из 3. Создайте дополнительную матрицу, чтобы найти обратную матрицу.

Проверить определитель матрицы. Первый шаг: найти определитель матрицы. Если определитель равен 0, это сделано: эта матрица необратима. Определитель матрицы M можно обозначить как det (M).
- Чтобы найти обратную матрицу 3x3, вы должны сначала вычислить ее определитель.
- Чтобы узнать, как найти определитель матрицы, обратитесь к статье Поиск определителей матрицы 3x3.
Оригинальная транспозиция матрицы. Транспонирование означает отражение матрицы по главной диагонали или, другими словами, замену элемента (i, j) и элемента (j, i). При транспонировании элементов матрицы главная диагональ (идущая от левого верхнего угла к правому нижнему) остается постоянной.
- Другой способ понять транспонирование - это переписать матрицу так, чтобы первая строка стала первым столбцом, средняя строка стала средним столбцом, а третья строка стала третьим столбцом. Обратите внимание на цветные элементы на иллюстрации выше и обратите внимание на новое положение чисел.
Найдите определитель каждой подматрицы 2x2. Все элементы новой матрицы смещения 3x3 связаны с соответствующей «вспомогательной» матрицей 2x2. Чтобы найти подматрицу каждого элемента, сначала выделите строку и столбец первого элемента. Все 5 элементов будут выделены. Остальные четыре элемента образуют подматрицу.
- В приведенном выше примере, если вы хотите найти подматрицу элемента во второй строке, первом столбце, вы выделяете пять частей слова во второй строке и первом столбце. Остальные четыре элемента представляют собой соответствующую подматрицу.
- Найдите определитель каждой подматрицы путем умножения по диагонали и вычитания двух произведений друг из друга, как показано на рисунке выше.
- Прочтите больше, чтобы узнать больше о подматрицах и их использовании.
Составьте матрицу алгебраических подразделов. Поместите результат, полученный на предыдущем шаге, в новую матрицу, состоящую из алгебраических подразделов, поместив каждый определитель подматрицы в соответствующую позицию в исходной матрице. Таким образом, определитель, вычисленный из элемента (1,1) исходной матрицы, будет помещен в позицию (1,1). Затем вам нужно будет изменить знак замены этой новой матрицы в соответствии со справочной таблицей, показанной на иллюстрации выше.
- При определении знака сохраняется отметка первой молекулы ведущей. Знак второго элемента перевернут. Знак третьего элемента сохраняется. Продолжайте так же для остальной части матрицы. Обратите внимание, что знак (+) или (-) в справочной таблице не означает, что до конца элемент будет иметь положительные или отрицательные знаки. Они только показывают, что элементы будут сохранены без изменений (+) или изменены с помощью (-).
- Обратитесь к основам работы с матрицами, чтобы узнать больше об алгебраических приложениях.
- Конечный результат, который мы получаем на этом шаге, - дополнительная матрица исходной матрицы. Иногда ее также называют сопряженной матрицей и обозначают Adj (M).
Разделите все элементы матрицы дополнения на определитель. Используйте определитель матрицы M, вычисленный на первом шаге (чтобы проверить, обратима ли матрица). Теперь разделите каждый элемент матрицы на это значение. Поместите частное каждого деления в позицию исходного элемента, и мы получим обратную матрицу исходной матрицы.
- Матрица-образец, представленная на иллюстрации, имеет определитель 1. Поэтому, когда мы разделим все элементы дополнительной матрицы на определитель, мы получим саму себя (вам не всегда так везет). .
- Вместо деления в некоторой документации этот шаг демонстрируется как умножение каждого элемента M на 1 / det (M). Математически они эквивалентны.
рекламное объявление

Метод 2 из 3. Уменьшите линейную строку, чтобы найти обратную матрицу

Добавьте единичную матрицу к исходной матрице. Напишите базовую матрицу M, проведите вертикальную линию справа от этой матрицы, а затем запишите единичную матрицу справа от этой строки. На данный момент у нас есть матрица с тремя строками и шестью столбцами.
- Помните, что единичная матрица - это специальная матрица, в которой все элементы на главной диагонали, идущие от верхнего левого угла до нижнего правого угла, равны 1, а все элементы в остальных позициях равны нулю.
Выполните линейное сокращение строки. Цель здесь - создать единичную матрицу в левой части только что развернутой матрицы. Выполняя шаги сокращения строк слева, вы должны выполнить соответствующую часть справа - часть, которая является вашей единичной матрицей.
- Помните, что сокращение строк выполняется как комбинация скалярного умножения и сложения или вычитания строк, чтобы изолировать отдельные элементы матрицы.
Продолжайте, пока не будет сформирована единичная матрица. Продолжайте линейную редукцию, пока не появится единичная матрица (элементы на диагонали равны 1, остальные элементы равны 0) в левой части развернутой матрицы. Как только этот шаг будет достигнут, правая часть вертикального делителя станет обратной матрицей исходной матрицы.
Перепишите обратную матрицу. Дублируйте элементы, которые в настоящее время находятся в правой части вертикального разделителя, и это ваша обратная матрица. рекламное объявление

Метод 3 из 3: Найдите обратную матрицу с помощью карманного калькулятора

Выберите калькулятор, который может решать матрицы. Простой калькулятор с четырьмя функциями не сможет найти обратную матрицу непосредственно для вас. Однако из-за математического повторения усовершенствованный графический калькулятор, такой как Texas Instruments TI-83 или TI-86, может значительно сократить объем вашей работы.
Введите матрицу в калькулятор. Сначала войдите в функцию «Матрица» вашего калькулятора, нажав клавишу «Матрица», если она доступна на вашем устройстве. На аппарате Texas Instruments вам нужно будет нажать 2 Matrix.
Выберите подменю Edit. Для доступа к этому подменю вам может потребоваться использовать кнопки со стрелками или выбрать соответствующие функциональные клавиши, расположенные в верхнем ряду клавиатуры компьютера, в зависимости от ее дизайна.
Выберите имя для вашей матрицы. Большинство карманных калькуляторов могут работать с 3–10 матрицами, обозначенными буквами от A до J. Обычно давайте начнем с. Нажмите клавишу Enter, чтобы подтвердить выбор имени.
Введите размер матрицы. Эта статья посвящена матрицам 3x3. Однако карманные калькуляторы могут работать с матрицами большего размера. Введите количество строк, нажмите Enter, затем введите номер столбца и нажмите Enter.
Введите каждый элемент матрицы. На экране компьютера отобразится матрица. Если вы работали с функцией матрицы раньше, матрица, с которой вы работали раньше, появится на экране. Курсор отметит первый элемент матрицы. Введите значение матрицы, которое вы хотите решить, и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу, перезаписав все предыдущие значения.
- Если вы хотите ввести отрицательные числа, используйте отрицательную кнопку (-) вашего калькулятора, а не клавишу «минус». Матричная функция не будет считываться правильно.
- При необходимости вы можете использовать клавиши со стрелками на калькуляторе для перемещения по матрице.
Выход из матричной функции. После того, как вы ввели все значение матрицы, нажмите клавишу Quit - Exit (или 2 Quit, если необходимо). Благодаря этому вы выйдете из функции Матрицы и вернетесь на главный экран калькулятора.
Используйте обратный ключ, чтобы найти обратную матрицу. Во-первых, повторно откройте функцию «Матрица» и с помощью кнопки «Имена» выберите имя матрицы, которое вы использовали для присвоения своей матрице (может быть). Затем нажмите обратную клавишу калькулятора. В зависимости от вашего устройства вам может потребоваться кнопка 2. Появится экран дисплея. Нажмите Enter, и на вашем экране появится обратная матрица.
- Не используйте кнопку ^ на вашем компьютере при попытке ввести A ^ -1 отдельными щелчками мыши. Компьютеры не поймут эту математику.
- Если вы получаете сообщение об ошибке при нажатии клавиши инверсии, более вероятно, что ваша родительская матрица необратима. Может быть, вам стоит вернуться и качественно определить, является ли это причиной ошибки.
Преобразуйте обратную матрицу в правильный ответ. Первый результат, возвращаемый компьютером, отображается в десятичном формате. Это не обязательно "правильный" ответ для большинства целей. При необходимости вы должны преобразовать этот десятичный ответ в дробь (если вам повезет, все ваши результаты будут целыми числами. Однако это очень редко).
- Возможно, в вашем калькуляторе есть функция, которая автоматически переводит десятичные дроби в дроби. Например, при использовании TI-86 вы можете перейти к функции Math, выбрать Misc, затем Frac и нажать Enter. Десятичные числа будут автоматически представлены как дроби.
Большинство графических калькуляторов имеют квадратные скобки (для TI-84 это 2nd + x и 2nd + -), которые позволяют вводить матрицу без использования функции матрицы. Примечание. Калькулятор может не форматировать матрицу до тех пор, пока не будет использована клавиша ввода / равенства (это означает, что все будет в одной строке и не очень хорошо). рекламное объявление

Совет

Вы можете выполнить следующие действия, чтобы найти обратную матрицу, которая содержит не только числа, но также переменные, неизвестные или даже алгебраические выражения.
Запишите все шаги, потому что найти обратную матрицу 3x3, просто выполнив математические вычисления, чрезвычайно сложно.
Существуют программы-калькуляторы, которые помогут вам найти обратные матрицы размером до 30x30 включительно.
Независимо от используемого метода проверьте точность результата, умножив M на M. Вы убедитесь, что M * M = M * M = I. Где I - единичная матрица. , состоит из элементов 1, расположенных по главной диагонали, и нулей в других местах. Если у вас нет таких результатов, значит, вы где-то ошиблись.