Содержание

• Шагать
• Часть 1 из 4: Составление матрицы
• Часть 2 из 4: Изучение операций для решения системы с матрицей
• Часть 3 из 4: объедините шаги, чтобы решить галактику
• Часть 4 из 4: проверка вашего решения
• Советы

Матрица - очень полезный способ представления чисел в блочном формате, который затем можно использовать для решения системы линейных уравнений. Если у вас есть только две переменные, вы, вероятно, воспользуетесь другим методом. Прочтите об этом в разделе «Решение системы уравнений», где приведены примеры других методов. Но если у вас есть три или более переменных, идеально подходит массив. Используя повторяющиеся комбинации умножения и сложения, вы можете систематически прийти к решению.

Шагать

Часть 1 из 4: Составление матрицы

1. Убедитесь, что у вас достаточно данных. Чтобы получить уникальное решение для каждой переменной в линейной системе с использованием матрицы, вам необходимо иметь столько уравнений, сколько переменных, которые вы пытаетесь решить. Например: с переменными x, y и z вам нужно три уравнения. Если у вас есть четыре переменных, вам нужно четыре уравнения.
   • Если у вас меньше уравнений, чем количество переменных, вы узнаете некоторые границы переменных (например, x = 3y и y = 2z), но вы не сможете получить точное решение. В этой статье мы будем работать только над уникальным решением.
2. Запишите свои уравнения в стандартной форме. Прежде чем вы сможете поместить данные из уравнений в матричную форму, вы сначала напишите каждое уравнение в стандартной форме. Стандартная форма линейного уравнения - Ax + By + Cz = D, где прописные буквы - это коэффициенты (числа), а последнее число (D в этом примере) находится справа от знака равенства.
   • Если у вас есть другие переменные, просто продолжайте строку столько, сколько вам нужно. Например, если вы пытаетесь решить систему с шестью переменными, ваша форма по умолчанию будет выглядеть как Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. В этой статье мы сосредоточимся на системах всего с тремя переменными. Решение более крупной галактики - то же самое, но требует больше времени и шагов.
   • Обратите внимание, что в стандартной форме операции между терминами всегда являются дополнением. Если в вашем уравнении есть вычитание, а не сложение, вам придется позже поработать с этим, сделав свой коэффициент отрицательным. Чтобы упростить запоминание, вы можете переписать уравнение, добавить операцию и сделать коэффициент отрицательным. Например, вы можете переписать уравнение 3x-2y + 4z = 1 как 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Поместите числа из системы уравнений в матрицу. Матрица - это группа чисел, упорядоченная в виде таблицы, с которой мы будем работать, чтобы решить систему. В основном он содержит те же данные, что и сами уравнения, но в более простом формате. Чтобы преобразовать матрицу ваших уравнений в стандартную форму, просто скопируйте коэффициенты и результат каждого уравнения в одну строку и сложите эти строки друг над другом.
   • Предположим, у вас есть система, состоящая из трех уравнений 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Верхняя строка вашей матрицы будет содержать числа 3, 1, -1, 9, поскольку это коэффициенты и решение первого уравнения. Обратите внимание: предполагается, что любая переменная, не имеющая коэффициента, имеет коэффициент 1. Вторая строка матрицы становится 2, -2, 1, -3, а третья строка становится 1, 1, 1, 7.
   • Убедитесь, что вы выровняли коэффициенты x в первом столбце, коэффициенты y во втором, коэффициенты z в третьем и члены решения в четвертом. Когда вы закончите работу с матрицей, эти столбцы будут важны при написании решения.
4. Нарисуйте большую квадратную скобку вокруг всей вашей матрицы. По соглашению матрица обозначается парой квадратных скобок [] вокруг всего блока чисел. Скобки никак не влияют на решение, но они указывают на то, что вы работаете с матрицами. Матрица может состоять из любого количества строк и столбцов. В этой статье мы будем заключать в скобки термины подряд, чтобы указать, что они принадлежат друг другу.
5. Использование общей символики. При работе с матрицами обычно ссылаются на строки с сокращением R и столбцы с сокращением C. Вы можете использовать числа вместе с этими буквами, чтобы указать конкретную строку или столбец. Например, чтобы указать строку 1 матрицы, вы можете написать R1. Строка 2 становится R2.
   • Вы можете указать любую конкретную позицию в матрице, используя комбинацию R и C. Например, чтобы указать термин во второй строке, третьем столбце, вы можете назвать его R2C3.

Часть 2 из 4: Изучение операций для решения системы с матрицей

1. Понять форму матрицы решения. Прежде чем приступить к решению вашей системы уравнений, вам необходимо понять, что вы собираетесь делать с матрицей. На данный момент у вас есть матрица, которая выглядит так:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Вы работаете с рядом основных операций, чтобы создать «матрицу решения». Матрица решения будет выглядеть так:
   • 1 0 0 х
   • 0 1 0 лет
   • 0 0 1 z
   • Обратите внимание, что матрица состоит из единиц на диагональной линии и нулей во всех других местах, кроме четвертого столбца. Числа в четвертом столбце - это решение для переменных x, y и z.
2. Используйте скалярное умножение. Первый инструмент в вашем распоряжении для решения системы с использованием матрицы - это скалярное умножение. Это просто термин, который означает, что вы умножаете элементы в строке матрицы на постоянное число (а не на переменную). При использовании скалярного умножения имейте в виду, что вы должны умножить каждый член всей строки на любое выбранное вами число. Если вы забудете первый член и просто умножите его, вы получите неправильное решение. Однако вам не нужно одновременно умножать всю матрицу. При скалярном умножении вы работаете только с одной строкой за раз.
   • Обычно в скалярном умножении используются дроби, потому что вам часто нужно получить диагональную строку из единиц. Привыкайте работать с дробями. Также будет проще (для большинства этапов решения матрицы) иметь возможность записать дроби в неправильной форме, а затем преобразовать их обратно в смешанные числа для окончательного решения. Следовательно, с числом 1 2/3 легче работать, если вы запишете его как 5/3.
   • Например, первая строка (R1) нашего примера задачи начинается с членов [3,1, -1,9]. Матрица решения должна содержать 1 в первой позиции первой строки. Чтобы «заменить» 3 на 1, мы можем умножить всю строку на 1/3. Это создает новый R1 [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Обязательно оставьте все отрицательные знаки на своем месте.
3. Используйте сложение строк или вычитание строк. Второй инструмент, который вы можете использовать, - это сложить или вычесть две строки матрицы. Чтобы создать нулевые члены в матрице решения, вам нужно сложить или вычесть числа, чтобы получить 0. Например, если R1 имеет матрицу [1,4,3,2], а R2 - [1,3,5,8], то вы можете вычесть первую строку из второй и создать новую строку [0, -1, 2.6], потому что 1-1 = 0 (первый столбец), 3-4 = -1 (второй столбец), 5-3 = 2 (третий столбец) и 8-2 = 6 (четвертый столбец). При выполнении сложения или вычитания строки перепишите новый результат вместо строки, с которой вы начали. В этом случае мы извлечем строку 2 и вставим новую строку [0, -1,2,6].
   • Вы можете использовать сокращенную запись и объявить это действие как R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Помните, что сложение и вычитание - это противоположные формы одной и той же операции. Думайте об этом как о сложении двух чисел или вычитании противоположного. Например, если вы начнете с простого уравнения 3-3 = 0, вы можете думать об этом как о задаче сложения 3 + (- 3) = 0. Результат тот же. Это кажется простым, но иногда проще рассмотреть проблему в той или иной форме. Просто следите за своими негативными признаками.
4. Объедините сложение строк и скалярное умножение за один шаг. Вы не можете ожидать, что термины всегда будут совпадать, поэтому вы можете использовать простое сложение или вычитание, чтобы создать 0 в вашей матрице. Чаще всего вам придется прибавлять (или вычитать) кратное из другой строки. Для этого вы сначала выполняете скалярное умножение, а затем добавляете этот результат в целевую строку, которую пытаетесь изменить.
   • Предполагать; что есть строка 1 из [1,1,2,6] и строка 2 из [2,3,1,1]. Вы хотите, чтобы термин 0 в первом столбце R2. То есть вы хотите заменить 2 на 0. Для этого вы должны вычесть 2. Вы можете получить 2, сначала умножив строку 1 на скалярное умножение 2, а затем вычтя первую строку из второй. В краткой форме это можно записать как R2-2 * R1. Сначала умножьте R1 на 2, чтобы получить [2,2,4,12]. Затем вычтите это из R2, чтобы получить [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Упростите это, и ваш новый R2 будет [0,1, -3, -11].
5. Скопируйте строки, которые остаются неизменными во время работы. Работая с матрицей, вы будете изменять по одной строке за раз либо скалярным умножением, либо сложением строк, либо вычитанием строк, либо комбинацией шагов. Когда вы изменяете одну строку, убедитесь, что вы скопировали другие строки вашей матрицы в их исходной форме.
   • Распространенная ошибка возникает при выполнении комбинированного шага умножения и сложения за один ход. Например, скажем, вам нужно дважды вычесть R1 из R2. Когда вы умножаете R1 на 2 для выполнения этого шага, помните, что R1 не изменяется в матрице. Вы делаете только умножение, чтобы изменить R2. Сначала скопируйте R1 в исходной форме, затем внесите изменения в R2.
6. Сначала работайте сверху вниз. Чтобы решить систему, вы работаете по очень организованной схеме, по сути, «решая» один член матрицы за раз. Последовательность для массива с тремя переменными будет выглядеть так:
   • 1. Наберите 1 в первой строке, первом столбце (R1C1).
   • 2. Введите 0 во второй строке, первом столбце (R2C1).
   • 3. Наберите 1 во втором ряду, втором столбце (R2C2).
   • 4. Введите 0 в третьем ряду, первом столбце (R3C1).
   • 5. Введите 0 в третьем ряду, втором столбце (R3C2).
   • 6. Наберите 1 в третьем ряду, третьем столбце (R3C3).
7. Вернитесь снизу вверх. На этом этапе, если вы выполнили все шаги правильно, вы наполовину приняли решение. У вас должна быть диагональная линия из единиц с нулями под ней. Цифры в четвертом столбце на этом этапе не имеют значения. Теперь вы вернетесь к началу следующим образом:
   • Создайте 0 во второй строке, третьем столбце (R2C3).
   • Создайте 0 в первой строке третьего столбца (R1C3).
   • Создайте 0 в первой строке, втором столбце (R1C2).
8. Проверьте, создали ли вы матрицу решений. Если ваша работа верна, вы создали матрицу решения с единицами на диагональной линии R1C1, R2C2, R3C3 и нулями в других позициях первых трех столбцов. Цифры в четвертом столбце - это решения для вашей линейной системы.

Часть 3 из 4: объедините шаги, чтобы решить галактику

1. Начните с примера системы линейных уравнений. Чтобы попрактиковаться в этих шагах, давайте начнем с системы, которую мы использовали ранее: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Если вы запишете это в матрицу, у вас будет R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] и R3 = [1,1,1,7].
2. Создайте 1 в первой позиции R1C1. Обратите внимание, что на этом этапе R1 начинается с 3. Вы должны изменить его на 1. Вы можете сделать это скалярным умножением, умножив все четыре члена R1 на 1/3. В сокращении вы можете писать как R1 * 1/3. Это дает новый результат для R1, если R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Скопируйте R2 и R2 без изменений, когда R2 = [2, -2,1, -3] и R3 = [1,1,1,7].
   • Обратите внимание, что умножение и деление являются обратными функциями друг друга. Можно сказать, что умножаем на 1/3 или делим на 3, не меняя результата.
3. Создайте 0 во второй строке, первом столбце (R2C1). В этот момент R2 = [2, -2,1, -3]. Чтобы приблизиться к матрице решения, вам нужно изменить первый член с 2 на 0. Вы можете сделать это, вычитая удвоенное значение R1, поскольку R1 начинается с 1. В сокращении операция R2- 2 * R1. Помните, вы не меняете R1, просто работайте с ним. Итак, сначала скопируйте R1, если R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Затем, если вы удвоите каждый член R1, вы получите 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Наконец, вычтите этот результат из исходного R2, чтобы получить новый R2. Последовательно это вычитание становится (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Мы упрощаем их до нового R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Обратите внимание, что первый член равен 0 (какой бы ни была ваша цель).
   • Запишите строку 3 (которая не изменилась) как R3 = [1,1,1,7].
   • Будьте осторожны при вычитании отрицательных чисел, чтобы убедиться, что знаки остаются правильными.
   • А теперь оставим дроби в неправильном виде. Это упрощает последующие этапы решения. Вы можете упростить дроби на последнем этапе задачи.
4. Создайте 1 во второй строке, втором столбце (R2C2). Чтобы продолжить формирование диагональной линии из единиц, вы должны преобразовать второй член -8/3 в 1. Сделайте это, умножив всю строку на обратную величину этого числа (-3/8). Символически этот шаг равен R2 * (- 3/8). Полученная вторая строка будет R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Обратите внимание, что если левая половина строки начинает напоминать решение с 0 и 1, правая половина может начать выглядеть некрасиво с неправильными дробями. Просто оставьте их такими, какие они есть на данный момент.
   • Не забудьте продолжить копирование нетронутых строк, поэтому R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и R3 = [1,1,1,7].
5. Создайте 0 в третьей строке, первом столбце (R3C1). Теперь ваш фокус переместится в третью строку, R3 = [1,1,1,7]. Чтобы получить 0 в первой позиции, вы должны вычесть 1 из 1, находящегося в данный момент в этой позиции. Если вы посмотрите вверх, на первой позиции R1 стоит 1. Поэтому вам просто нужно вычесть R1 из R3, чтобы получить нужный результат. Рабочий термин для семестра становится (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Эти четыре мини-задачи можно затем упростить до нового R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Продолжайте копировать по R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] и R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Помните, что вы меняете только одну строку за раз.
6. Сделайте 0 в третьем ряду, втором столбце (R3C2). В настоящее время это значение составляет 2/3, но его необходимо преобразовать в 0. На первый взгляд кажется, что вы можете вычесть значения R1 на удвоение, поскольку соответствующий столбец R1 содержит 1/3. Однако, если вы удвоите и вычтите все значения R1, 0 в первом столбце R3 изменится, что вам не нужно. Это будет шагом назад в вашем решении. Так что вам придется работать с некоторой комбинацией R2. Вычитание 2/3 из R2 создает 0 во втором столбце без изменения первого столбца. Вкратце это R3-2 / 3 * R2. Отдельные термины становятся (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3). . Тогда упрощение дает R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Создайте 1 в третьей строке, третьем столбце (R3C3). Это простое умножение на обратную величину числа, которое в нем написано. Текущее значение - 42/24, поэтому вы можете умножить его на 24/42, чтобы получить желаемое значение 1. Обратите внимание, что первые два члена равны 0, поэтому любое умножение остается равным нулю. Новое значение R3 = [0,0,1,1].
   • Обратите внимание, что дроби, которые казались довольно сложными на предыдущем шаге, уже начинают разрешаться.
   • Продолжите с R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Обратите внимание, что на данный момент у вас есть диагональ единиц для вашей матрицы решения. Вам нужно всего лишь преобразовать три элемента матрицы в нули, чтобы найти решение.
8. Создайте 0 во второй строке, третьем столбце. R2 в настоящее время составляет [0,1, -5 / 8,27 / 8] со значением -5/8 в третьем столбце. Вы должны преобразовать его в 0. Это означает, что вы должны выполнить некоторую операцию с R3, которая состоит из добавления 5/8. Поскольку соответствующий третий столбец R3 равен 1, вы должны умножить все значения R3 на 5/8 и прибавить результат к R2. Короче это R2 + 5/8 * R3. Срок для семестра: R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Это можно упростить до R2 = [0,1,0,4].
   • Затем скопируйте R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и R3 = [0,0,1,1].
9. Создайте 0 в первой строке третьего столбца (R1C3). Первая строка в настоящее время R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Вы должны преобразовать -1/3 в третьем столбце в 0, используя некоторую комбинацию R3. Вы не хотите использовать R2, потому что 1 во втором столбце R2 неверно изменит R1. Итак, вы умножаете R3 * 1/3 и прибавляете результат к R1. Обозначение для этого - R1 + 1/3 * R3. Срок для уточнения термина приводит к R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Вы можете упростить это до нового R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Скопируйте неизмененные R2 = [0,1,0,4] и R3 = [0,0,1,1].
10. Сделайте 0 в первой строке второго столбца (R1C2). Если все сделано правильно, это должен быть последний шаг. Вы должны преобразовать 1/3 во втором столбце в 0. Вы можете получить это путем умножения и вычитания R2 * 1/3. Вкратце это R1-1 / 3 * R2. Результат: R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Тогда упрощение дает R1 = [1,0,0,2].
11. Найдите матрицу решений. На этом этапе, если все пойдет хорошо, у вас будут три строки R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] и R3 = [0,0,1,1]. должны иметь. Обратите внимание, что если вы запишете это в форме блочной матрицы со строками одна над другой, у вас будет диагональ 1 с 0 дальше, а ваши решения будут в четвертом столбце. Матрица решения должна выглядеть так:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Понимание вашего решения. После преобразования линейных уравнений в матрицу вы помещаете коэффициенты x в первый столбец, коэффициенты y во второй столбец, коэффициенты z в третий столбец. Если вы хотите снова переписать матрицу в уравнения, эти три строки матрицы фактически означают три уравнения 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 и 0x + 0y + 1z = 1. Поскольку мы можем вычеркнуть 0 членов и не писать коэффициенты 1, эти три уравнения упрощают решение, x = 2, y = 4 и z = 1. Это решение вашей системы линейных уравнений.

Часть 4 из 4: проверка вашего решения

1. Включите решения каждой переменной в каждое уравнение. Всегда полезно проверить правильность вашего решения. Вы делаете это, проверяя свои результаты в исходных уравнениях.
   • Исходные уравнения для этой задачи были: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Когда вы заменяете переменные их значениями, которые вы нашли, вы получаете 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 и 2 + 4 + 1 = 7.
2. Упростите любое сравнение. Выполните операции в каждом уравнении в соответствии с основными правилами операций. Первое уравнение упрощается до 6 + 4-1 = 9 или 9 = 9. Второе уравнение можно упростить до 4-8 + 1 = -3 или -3 = -3. Последнее уравнение просто 7 = 7.
   • Поскольку любое уравнение упрощается до истинного математического утверждения, ваши решения верны. Если какое-либо из решений неверно, проверьте свою работу еще раз и поищите ошибки. Некоторые распространенные ошибки возникают, когда вы избавляетесь от знаков минус по пути или путаете умножение и сложение дробей.
3. Запишите свои окончательные решения. Для данной задачи окончательное решение - x = 2, y = 4 и z = 1.

Советы

• Если ваша система уравнений очень сложная и содержит много переменных, вы можете использовать графический калькулятор вместо того, чтобы выполнять работу вручную. Для получения информации об этом вы также можете обратиться к wikiHow.