Содержание

• Шагать
• Советы

В виде графика представьте квадратное уравнение топор + bx + c , который также записывается как а (х - з) + к, выглядят как плавная кривая U-образной формы. Мы называем это парабола. Построение квадратного уравнения включает нахождение вершины, направления и часто точек пересечения с осью x и осью y. В случае относительно простого квадратного уравнения также может быть достаточно ввести ряд значений для x, чтобы указать эти точки в системе координат, после чего можно нарисовать параболу. Чтобы начать, перейдите к шагу 1.

Шагать

1. Определите, какое у вас уравнение второй степени. Его можно записать двумя способами: в стандартном обозначении и обозначении вершины (другой способ записать формулу квадратного корня). Вы можете использовать и то, и другое, чтобы создать график квадратного уравнения, но в каждом случае процесс немного отличается. В большинстве случаев вы будете сталкиваться со стандартной формой, но, конечно, не повредит научиться использовать обе формы. Двумя формами квадратного уравнения являются:
   • Стандартная форма. Квадратное уравнение обозначается как: f (x) = ax + bx + c, где a, b и c - действительные числа, а a не равно нулю.
     • Два примера стандартных квадратных уравнений: f (x) = x + 2x + 1 и f (x) = 9x + 10x -8.
   • Форма вершины. Квадратное уравнение обозначается как: f (x) = a (x - h) + k, где a, h и k - действительные числа, а a не равно нулю. Эта форма называется вершиной, потому что h и k относятся непосредственно к вершине вашей параболы в точке (h, k).
     • Два примера уравнений вершинной формы: f (x) = 9 (x - 4) + 18 и -3 (x - 5) + 1.
   • Чтобы построить график этих уравнений, мы сначала определяем вершину (h, k) графика. В стандартном уравнении вы найдете это через: h = -b / 2a и k = f (h), в то время как это уже дано в форме вершины, потому что h и k встречаются в уравнении.
2. Определите свои переменные. Чтобы решить квадратное уравнение, обычно необходимо определить переменные a, b и c (или a, h и k). Обычное упражнение даст вам уравнение второй степени в стандартной форме, но также могут встречаться обозначения вершин.
   • Например: стандартная функция f (x) = 2x + 16x + 39. Здесь a = 2, b = 16 и c = 39.
   • В вершинных обозначениях: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Здесь a = 4, h = 5 и k = 12.
3. Рассчитайте h. В обозначении вершин значение h уже задано, но в стандартных обозначениях это значение еще предстоит вычислить. Помните, что со стандартным уравнением выполняется: h = -b / 2a.
   • Пример 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Решая это, мы видим, что h = -4.
   • Пример 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12) сразу видим, что h = 5.
4. Рассчитайте k. Как и в случае с h, k уже известно из уравнений вершинной формы. Для уравнений в стандартных обозначениях помните, что k = f (h). Другими словами, вы можете найти k, заменив любую переменную x значением h.
   • Мы видели, например, 1, что h = -4. Чтобы найти k, мы решаем это уравнение, заполнив это значение h в уравнении для переменной x:
     • к = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • к = 2 (16) - 64 + 39.
     • к = 32 - 64 + 39 = 7
   • Из примера 2 мы знаем, что значение k равно 12, без каких-либо вычислений.
5. Нарисуйте верхнюю или нижнюю часть графика. Вершиной или впадиной вашей параболы является точка (h, k) - h обозначает координату x, а k обозначает координату y. Вершина - это центр вашей параболы - самая высокая или самая низкая точка, вершина или впадина графа в форме буквы «U» или наоборот.Умение определять вершину параболы - важная часть построения правильного графика - часто определение вершины параболы является частью математической задачи в школе.
   • В примере 1 верхняя часть графика равна (-4,7). Нарисуйте точку на графике и убедитесь, что вы правильно назвали координаты.
   • В примере 2 верхний предел равен (5.12). Итак, от точки (0,0) вы идете на 5 позиций вправо, а затем на 12 вверх.
6. При необходимости нарисуйте ось симметрии параболы. Ось симметрии параболы - это линия, которая пересекает фигуру посередине, разделяя ее ровно пополам. Одна сторона графика отражается вдоль этой линии на другой стороне графика. В квадратных уравнениях либо ax + bx + c, либо a (x - h) + k, эта ось является линией, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы.
   • В случае примера 1 ось симметрии - это линия, параллельная оси y и проходящая через точку (-4,7). Хотя это не часть самой параболы, легкое выделение этой линии может показать вам, насколько симметрична кривая параболы.
7. Определите направление параболы. После того, как вы выяснили, что такое вершина параболы, необходимо знать, имеете ли вы дело с параболой горы или долины, то есть находится ли отверстие внизу или вверху. К счастью, это очень просто. Если "а" положительно, вы имеете дело с параболой долины; если "а" отрицательное, это горная парабола (с отверстием внизу)
   • В примере 1 мы имеем дело с функцией (f (x) = 2x + 16x + 39), так что это парабола долины, потому что a = 2 (положительно).
   • В примере 2 мы имеем дело с функцией f (x) = 4 (x - 5) + 12), и это также парабола долины, поскольку a = 4 (положительное значение).
8. При необходимости определите точки пересечения параболы. Часто, когда математическую задачу просят указать пересечения параболы с осью x (это "ноль", а или же два точки, где парабола пересекается или касается оси x). Даже если они не запрашиваются, эти точки очень важны для построения точного графика. Но не все параболы пересекаются с осью абсцисс. Если вы имеете дело с параболой долины, а точка долины находится выше оси x или, в случае горной параболы, чуть ниже оси x, то точки пересечения просто не могут быть найдены. Если да, воспользуйтесь одним из следующих методов:
   • Определите, что f (x) = 0, и решите уравнение. Этот метод может работать для простых квадратных уравнений, особенно в форме вершин, но вы обнаружите, что это становится все труднее по мере того, как функции становятся более сложными. Ниже приведены несколько примеров.
     • е (х) = 4 (х - 12)
     • 0 = 4 (х - 12) - 4
     • 4 = 4 (х - 12)
     • 1 = (х - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = х -12. х = 11 и 13 являются точками пересечения с осью абсцисс параболы.
   • Разложите уравнение на множители. Некоторые уравнения вида ax + bx + c можно легко переписать как (dx + e) ​​(fx + g), где dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx и e × г = с. В этом случае пересечения x - это значения x, где каждый член в круглых скобках становится равным 0. Например:
     • х + 2х + 1
     • = (х + 1) (х + 1)
     • В этом случае точка пересечения равна -1, потому что, введенные в оба фактора, это дает ноль.
   • Используйте формулу abc. Если вычислить пересечения или разложить уравнение на множители непросто, используйте «формулу abc» специально для этой цели. Предположим, что уравнение имеет вид ax + bx + c. Затем введите значения a, b и c в формулу x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Обратите внимание, что это часто дает вам два ответа на x, и это нормально - это просто означает, что ваша парабола имеет два пересечения с осью x. Вот пример:
     • Введите -5x + 1x + 10 в уравнение следующим образом:
     • х = (-1 +/- SqRt (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • х = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • х = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • х = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • х = (13,18 / -10) и (-15,18 / -10). Точки пересечения параболы с осью x примерно равны x = -1,318 а также 1,518
     • Как и в примере 1 с уравнением 2x + 16x + 39, это будет выглядеть так:
     • х = (-16 +/- SqRt (16-4 (2) (39))) / 2 (2)
     • х = (-16 +/- квадрат (256 - 312)) / 4
     • х = (-16 +/- квадрат (-56) / - 10
     • Поскольку невозможно найти квадратный корень из отрицательного числа, мы знаем, что нет точек пересечения с осью x для этой конкретной параболы.
9. При необходимости определите пересечение параболы с осью ординат. Часто это не обязательно, но иногда требуется найти это пересечение, например, для математической задачи. Это довольно просто - установите значение x равным 0 и решите уравнение для f (x) или y, которое даст вам значение y точки, где парабола пересекается с осью y. Разница с точками пересечения по оси x состоит в том, что на оси Y всегда есть только одна точка пересечения. Примечание. В стандартных уравнениях пересечение с осью y находится в точке y = c.
   • Например, мы знаем, что наше квадратное уравнение 2x + 16x + 39 имеет пересечение y = 39, но мы также можем найти это следующим образом:
     • е (х) = 2х + 16х + 39
     • е (х) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Пересечение параболы с осью y: у = 39. Как указано выше, мы можем легко прочитать точку пересечения, потому что y = c.
   • Уравнение 4 (x - 5) + 12 пересекается с осью y, которую можно найти следующим образом:
     • е (х) = 4 (х - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0-5) + 12
     • е (х) = 4 (-5) + 12
     • е (х) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Пересечение с осью y: у = 112.
10. Если вы считаете, что это необходимо, сначала нарисуйте дополнительные точки, а затем весь график. Теперь у вас должна быть вершина или впадина, направление, точки пересечения с осью x и, возможно, с осью y вашего уравнения. С этого момента вы можете попытаться нарисовать параболу, используя эти точки, или вы можете попытаться найти больше точек, чтобы сделать график более точным. Самый простой способ сделать это - просто ввести несколько значений x, которые вернут несколько значений y. Учителя часто просят вас вычислить количество точек, прежде чем вы сможете начать рисовать параболу.
    • Давайте еще раз посмотрим на уравнение x + 2x + 1. Мы уже знаем, что единственное пересечение с осью x - это (-1,0). Поскольку в этой точке он касается только оси x, мы можем сделать вывод, что вершина графика совпадает с этой точкой. Пока у нас есть только одна точка этой параболы - недостаточно, чтобы нарисовать график. Давайте найдем еще несколько точек, чтобы убедиться, что у нас больше значений.
      • Попробуем найти значения y, соответствующие следующим значениям x: 0, 1, -2 и -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Тогда точка (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Тогда точка (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Тогда точка (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Тогда точка (-3,4).
      • Поместите эти точки на график и нарисуйте свою параболу. Обратите внимание, что парабола полностью симметрична - если вы знаете точки на одной стороне графика, вы обычно можете сэкономить много времени, используя эти точки для поиска точек на другой стороне оси симметрии.

Советы

• При необходимости округлите числа или используйте дроби. Это может помочь правильно отобразить диаграмму.
• Обратите внимание, что если для функции f (x) = ax + bx + c, b или c равны нулю, эти члены исчезнут. Например, 12x + 0x + 6 становится равным 12x + 6, потому что 0x равно 0.