Вычислить кубические корни вручную

Видео: #196. Как извлекать кубические корни в столбик?

Содержание

Шагать
Часть 1 из 3: разработка примера задания
Часть 2 из 3: Нахождение кубического корня путем многократного вычисления
Советы
Предупреждения
Необходимости

С помощью калькулятора вычислить кубический корень любого числа можно не более, чем нажатием нескольких клавиш. Но, возможно, у вас нет калькулятора или вы хотите поразить друзей своей способностью вычислить кубический корень от руки. Есть метод, который на первый взгляд кажется немного сложным, но с небольшой практикой работает очень просто. Полезно иметь готовые знания в области арифметики и вычисления кубических чисел.

Шагать

Часть 1 из 3: разработка примера задания

Составьте задачу. Решение кубического корня из числа будет похоже на решение деления в длину, с некоторыми отличиями здесь и там. Первый шаг - правильно записать заявление.
- Запишите число, для которого вы хотите определить кубический корень. Запишите числа группами по три, запятая должна быть отправной точкой. В этом примере вы собираетесь определить кубический корень из 10. Запишите это как 10,000000. Нули нужны для точности ответа.
- Нарисуйте квадратный корень куба над числом. Это служит той же цели, что и строка в столбике. Единственное отличие - форма символа.
- Поместите запятую над линией, прямо над запятой в исходном номере.
Знайте кубики единиц. Вы собираетесь использовать их в своих расчетах. Это касается следующих третьих сил:
- 13=1∗1∗1=1{ Displaystyle 1 ^ {3} = 1 * 1 * 1 = 1}Определите первую цифру своего ответа. Выберите число, которое дает кубу максимально возможный результат, меньший, чем первый набор из трех чисел.
  - В этом примере первый набор из трех чисел, умноженных вместе, равен 10. Найдите наибольший куб, который меньше 10. Это 8, а его кубический корень равен 2.
  - Напишите число 2 над квадратным корнем над числом 10. Запишите значение 23{ displaystyle 2 ^ {3}}Сделайте настройку для следующей цифры. Впишите следующую группу из трех чисел в оставшиеся и проведите короткую вертикальную линию слева от получившегося числа. Это будет число, которое мы будем использовать для определения следующей цифры в решении вашего кубического корня. В этом примере это становится 2000, которое создается из остатка 2 от предыдущей суммы вычитания с группой из трех нулей, которые вы удалили.
    - Слева от вертикальной линии запишите решение следующего делителя как сумму трех отдельных чисел. Укажите пустые места для этих чисел, подчеркнув три пустых места со знаком «плюс» под ними.
  - Найдите начало следующего делителя. В качестве первой части делителя запишите в три сотни раз больше квадрата того, что стоит над знаком квадратного корня. В данном случае это 2; 2 ^ 2 равно 4, а 4 * 300 = 1200. Так что напишите свой 1200 в первом пустом месте. Делитель для этого шага решения становится 1200 плюс еще кое-что, что вы вычислите через мгновение.
  - Найдите следующее число в корне вашего куба. Найдите следующую цифру своего решения, выбрав то, что вы можете умножить на делитель (1200 и что-то еще), а затем вычтите это из остатка 2000. Это может быть только 1, потому что 2 умножения на 1200 равняются 2400, что больше, чем 2000. Напишите цифру 1 в следующем месте над знаком квадратного корня.
  - Найдите остаток от делителя. Делитель на этом шаге решения состоит из трех частей. Первая часть - это те 1200, которые у вас уже есть. Теперь вам нужно добавить еще два члена, чтобы завершить делитель.
    - Теперь посчитайте 3 раза по 10 каждую из двух цифр в вашем решении над знаком квадратного корня. Для этого простого упражнения это означает 3 * 10 * 2 * 1, что равно 60. Добавьте это к уже имеющимся 1200, и вы получите 1260.
    - Наконец, добавьте квадрат последней цифры. В этом примере это 1; а 1 ^ 2 по-прежнему 1. Таким образом, общий делитель равен 1200 + 60 + 1, или 1261. Запишите это слева от вертикальной линии.
  - Умножать и вычитать. Округлите эту часть решения, умножив последнюю цифру решения - в данном случае число 1 - на только что вычисленный делитель (1261). 1 * 1261 = 1261. Запишите это ниже 2000 и вычтите 1261, чтобы получить 739.
  - Решите пойти дальше, чтобы получить более точный ответ. После завершения вычитания каждого шага вы должны проверить, достаточно ли точен ваш ответ. Для кубического корня из 10 после первой минус суммы кубический корень был только 2, что на самом деле не совсем точно. Теперь, после второго раунда, решение - 2.1.
    - Проверить точность этого результата можно с помощью куба: 2.1 * 2.1 * 2.1. Результат - 9,261.
    - Если вы считаете, что результат достаточно точный, можете остановиться. Если вы хотите получить более точный ответ, вам придется пройти еще один раунд.
  - Определите делитель для следующего раунда. В этом случае, чтобы потренироваться и получить более точный ответ, повторите шаги для другого раунда, как показано ниже:
    - Принесите следующую группу из трех чисел. В данном случае это три нуля, которые идут после остатка 739 и образуют 739 000.
    - Начните делитель с 300-кратного квадрата числа, стоящего над знаком квадратного корня. Это 300∗212{ displaystyle 300 * 21 ^ {2}}Умножьте делитель на результат. После вычисления делителя в следующем раунде и добавления в решение еще одной цифры действуйте следующим образом:
      - Умножьте делитель на последнюю цифру вашего решения. 135 475 * 5 = 677 375.
      - Вычесть. 739 000–677 375 = 61 625.
      - Посмотрим, достаточно ли точное решение 2.15. Вычислите его куб, и вы получите ${ Displaystyle 2.15 * 2.15 * 2.15 = 9.94}$ Запишите свой окончательный ответ. Результатом над квадратным корнем является кубический корень с точностью до трех значащих цифр. В этом примере кубический корень из 10 равен 2,15. Проверьте это, вычислив 2,15 ^ 3 = 9,94, которое можно округлить до 10. Если вам нужен более точный ответ, продолжайте делать это, пока не будете удовлетворены.

Часть 2 из 3: Нахождение кубического корня путем многократного вычисления

Используйте кубические числа, чтобы установить верхний и нижний пределы. Когда вас попросят определить кубический корень данного числа, начните с выбора куба, который максимально приближен к нему, но не превышает целевого числа.
- Например, если вы хотите найти кубический корень из 600, запомните (или используйте кубический куб), что 83=512{ displaystyle 8 ^ {3} = 512}Оцените следующую цифру. Вы удаляете первую цифру, зная определенные кубические числа. Для следующей цифры оцените число от 0 до 9 в зависимости от того, где ваше целевое число находится между двумя предельными числами.
  - В примере задачи 600 (ваше целевое число) находится примерно на полпути между предельными числами 512 и 729. Таким образом, вы выбираете 5 в качестве следующего числа.
- Проверьте свою оценку, определив ее куб. Попробуйте умножить оценку, над которой вы сейчас работаете, чтобы узнать, насколько вы близки к целевому числу.
  - В этом примере вы умножаете 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{ displaystyle 8.5 * 8.5 * 8.5 = 614.1.}При необходимости скорректируйте свою оценку. После увеличения до куба вашего последнего предположения сравните результат с вашим целевым числом. Если результат больше целевого, ваша оценка должна быть меньше. Если результат меньше целевого, вы должны корректировать его в сторону увеличения, пока не достигнете цели.
    - Например, в этом заявлении 8,53{ displaystyle 8.5 ^ {3}}Оцените следующую цифру для более точного ответа. Продолжайте эту процедуру вычисления чисел от 0 до 9, пока ваш ответ не будет настолько точным, насколько вы хотите. Перед каждым раундом оценки вы начинаете с проверки положения вашего последнего вычисления между граничными числами.
      - В этом примере упражнения ваш последний раунд вычислений показывает, что ${ displaystyle 8.4 ^ {3} = 592.7}$ Продолжайте оценивать и корректировать. Делайте это столько раз, сколько необходимо, доведите свое предположение до кубической степени и посмотрите, как оно соотносится с целевым числом. Ищите числа, которые находятся чуть ниже или чуть выше целевого числа.
        В этом примере упражнения вы начнете с того, что заметите, что ${ displaystyle 8.44 * 8.44 * 8.44 = 601,2}$ Продолжайте, пока не достигнете желаемой точности. Продолжайте оценивать, сравнивать и переоценивать столько, сколько необходимо, пока ваше решение не станет настолько точным, насколько вы хотите. Обратите внимание, что с каждым десятичным числом ваши целевые числа становятся все ближе и ближе к фактическому числу.
        Для кубического корня из 600, если предположить, что два десятичных числа, вы находитесь менее чем на 1 от целевого числа на 8,43. Если вы продолжите до трех знаков после запятой, вы увидите, что ${ displaystyle 8.434 ^ {3} = 599.93}$ Просмотрите биномиум Ньютона. Чтобы понять, почему этот алгоритм работает для определения корней куба, вы должны сначала подумать о том, как куб выглядит как биномиальный. Вы, вероятно, узнали это в математике в старшей школе (и, как и большинство людей, вы, вероятно, быстро забыли об этом). Выберите две переменные ${ displaystyle A}$ Запишите двучлен в кубической форме. Теперь мы работаем в обратном направлении, сначала определяя куб, а затем выясняя, почему работает решение корня куба. Нам нужны значения ${ displaystyle (10A + B) ^ {3}}$ Знайте значение длинного деления. Обратите внимание, что метод кубического корня работает так же, как деление в столбик. В столбце вы видите, что два множителя, умноженные вместе, дают число, с которого вы начали. В этом расчете искомое число (число, которое в конечном итоге появляется над квадратным корнем) является кубическим корнем. Это означает, что он равен члену (10A + B). Фактические A и B теперь не имеют значения, если вы понимаете связь с ответом.
        Посмотреть расширенную версию. Если вы посмотрите на биномиум Ньютона, вы поймете, почему алгоритм кубического корня верен. Посмотрите, как делитель на каждом шаге алгоритма равен сумме четырех членов, которые вам нужно вычислить и сложить. Эти условия возникают следующим образом:
        Первый член содержит число, кратное 1000. Сначала вы выбираете число, которое может быть возведено в куб, но при этом остается в диапазоне длинного деления в качестве первого числа. Это дает член 1000A ^ 3 в биноме.
        Второй член биномиума Ньютона имеет коэффициент 300. (Это происходит от ${ displaystyle 3 * 10 ^ {2}}$ Наблюдайте за ростом точности. При работе с длинным делением каждый шаг, который вы выполняете, дает большую точность вашего ответа. Например, в этой статье рассматривается проблема для определения кубического корня из 10. На первом этапе решение - 2, потому что ${ displaystyle 2 ^ {3}}$ близко, но меньше 10. На самом деле, это верно ${ displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ . После второго раунда ваше решение - 2,1. Как только вы это разберетесь, вы получите ${ displaystyle 2.1 ^ {3} = 9 261}$ , что намного ближе к желаемому результату (10). После третьего раунда у вас будет 2,15, что дает вам ${ displaystyle 2.15 ^ {3} = 9.94}$ . Продолжайте работать в группах по три числа, и вы получите настолько точный ответ, насколько захотите.