Формулировка математических доказательств - Советы

Видео: Необходимость формализации математических доказательств

Содержание

Шагать
Метод 1 из 3: понимание проблемы
Метод 2 из 3: структурирование доказательства
Метод 3 из 3: Формулирование доказательств
Советы

Математические доказательства могут быть трудными, но с правильными базовыми знаниями как математики, так и структуры доказательства вы, безусловно, сможете успешно их сформулировать. К сожалению, нет быстрого и простого способа научиться собирать доказательства. Вам нужен прочный фундамент в ваших предметных знаниях, чтобы придумать правильные тезисы и определения для логического развития ваших доказательств. Прочитав примеры и попрактиковавшись, вы сможете овладеть навыками математической проверки.

Шагать

Метод 1 из 3: понимание проблемы

Поймите вопрос. Сначала вы должны точно определить, что вы пытаетесь доказать. Этот вопрос также послужит окончательным тезисом доказательства. На этом этапе вы также определите предположения, с которыми будете работать. Выявление вопроса и принятие необходимых предположений дает вам отправную точку для понимания проблемы и получения доказательств.
Нарисуйте схемы. Пытаясь понять внутреннюю работу математической задачи, иногда проще всего нарисовать схему того, что происходит. Диаграммы особенно важны в геометрических доказательствах, потому что они позволяют визуализировать то, что вы действительно хотите доказать.
- Используйте информацию, предоставленную в задаче, чтобы нарисовать картину улик. Назовите знакомых и незнакомцев.
- При работе с доказательствами используйте необходимую информацию для подтверждения доказательств.
Изучите доказательства связанных теорем. Доказательства трудно научиться конструировать, но отличный способ узнать это - изучить связанные утверждения и то, как они были доказаны.
- Поймите, что доказательство - это просто хороший аргумент, где каждый шаг обоснован. Вы можете найти множество доказательств для изучения как в Интернете, так и в учебниках.
Задавать вопросы. Очень нормально застрять в доказательстве. Спросите своего учителя или одноклассников, если вы не можете в этом разобраться. У последних могут быть похожие вопросы, и вы можете работать вместе над ними. Лучше задать вопросы, а затем понять, чем слепо пробираться сквозь доказательства.
- После урока проконсультируйтесь с учителем для получения дополнительных объяснений.

Метод 2 из 3: структурирование доказательства

Дайте математические доказательства. Математическое доказательство - это набор логических утверждений, поддерживаемых теоремами и определениями, которые доказывают правильность другого математического утверждения. Доказательства - единственный способ узнать, является ли утверждение математически верным.
- Способность сформулировать математическое доказательство указывает на фундаментальное понимание самой проблемы и всех концепций, связанных с проблемой.
- Свидетельства также заставляют вас взглянуть на математику по-новому и увлекательно. Просто попытка доказать что-то даст вам больше знаний и понимания, даже если ваши доказательства в конечном итоге покажутся неверными.
Знайте свою аудиторию. Прежде чем писать доказательство, вы должны подумать об аудитории, для которой вы его пишете, и о том, что они уже знают. Если вы напишете доказательство для публикации, вы сделаете это иначе, чем для класса средней школы.
- Знание своей аудитории позволяет сформулировать доказательства так, чтобы они были понятны, учитывая объем фоновых знаний, которыми располагает аудитория.
Разберитесь, какие доказательства вы выдвигаете. Есть несколько разных типов доказательств, и то, которое вы выберете, зависит от вашей целевой аудитории и задания. Если вы не уверены, какую версию использовать, спросите совета у учителя. В средней школе от вас могут ожидать формулировку доказательств в определенном формате, например, формальное доказательство в две колонки.
- Доказательство из двух столбцов - это структура, в которой данные и утверждения помещены в один столбец, а подтверждающие доказательства - во втором столбце. Их очень часто используют в геометрии.
- Неформальное доказательство абзацев использует грамматически правильные утверждения и меньшее количество символов. На более высоком уровне вы всегда должны использовать неформальное доказательство.
Запишите доказательство в две колонки в качестве обзора. Разделение доказательства на две колонки - это простой способ систематизировать свои мысли и рассмотреть проблему. Проведите линию по центру страницы и напишите все данные и утверждения слева. Напишите соответствующие определения / утверждения справа рядом с данными, которые они поддерживают.
- Например:
- Угол A и угол B образуют линейную пару. Дано.
- Угол ABC прямой. Определение прямого угла.
- Угол ABC равен 180 °. Определение линии.
- Угол A + угол B = угол ABC. Постулат добавления углов.
- Угол A + угол B = 180 °. Замена.
- Угол A как дополнение к углу B. Определение дополнительных углов.
- Q.E.D.
Преобразуйте доказательство из двух столбцов в неформальное доказательство. Основываясь на доказательстве в двух столбцах, напишите неформальное доказательство в виде абзаца без слишком большого количества символов и сокращений.
- Например, предположим, что угол A и B - линейные пары. Гипотеза состоит в том, что угол A и угол B дополняют друг друга (дополняют друг друга). Угол A и угол B образуют прямую линию, поскольку являются линейными парами. Прямая линия определяется как угол 180 °. Учитывая постулат сложения углов, углы A и B вместе образуют линию ABC. В качестве замены углы A и B вместе составляют 180 °, поэтому они являются дополнительными углами. Q.E.D.

Метод 3 из 3: Формулирование доказательств

Выучите словарь математических доказательств. Есть определенные утверждения и предложения, которые вы постоянно видите в математическом доказательстве. Это фразы, которые вам следует знать и уметь правильно использовать при формулировании собственных доказательств.
- «Если A, то B» означает, что вы должны показать, что если A истинно, то B также должно быть истинным.
- «A тогда и только тогда, когда B» означает, что вы должны доказать, что A и B истинны и ложны одновременно. Докажите, что «если А, то Б» и «если не А, то не Б».
- «A, только если B» означает то же, что и «Если A, то B», поэтому используется не часто. Приятно осознавать это, когда вы сталкиваетесь с этим.
- При создании доказательств вам следует избегать использования «я» в пользу «мы».
Запишите все данные. При составлении доказательства первым шагом является определение и запись всех данных. Это лучшее место для начала, так как это поможет вам подумать о том, что известно, и о том, какая информация необходима для получения доказательств. Прочтите проблему и запишите каждую информацию.
- Например: докажите, что два угла, образующие линейную пару (угол A и угол B), являются дополнительными.
- Дано: угол A и угол B образуют линейную пару
- Доказательство: угол A является дополнительным к углу B.
Определите все переменные. Помимо записи данных полезно определить все переменные. Напишите определения в начале доказательства, чтобы не запутать читателя. Если переменные не определены, читатель может легко потеряться, пытаясь понять ваши доказательства.
- Не используйте в доказательстве переменные, которые еще не были определены.
- Например: переменные - это меры угла A и угла B.
Просмотрите доказательства в обратном направлении. Часто проще всего оглянуться на проблему. Начните с вывода, того, что вы пытаетесь доказать, и подумайте о шагах, которые могут привести вас к началу.
- Отредактируйте шаги в начале и в конце, чтобы проверить, похожи ли они. Используйте данные, определения, которые вы узнали, и аналогичные доказательства.
- Задавайте себе вопросы по ходу дела. «Почему это так?» И «Есть ли способ, которым это ложно?» - хорошие вопросы для любого утверждения или утверждения.
- Не забудьте записать шаги по порядку для окончательного доказательства.
- Например: если углы A и B являются дополнительными, то вместе они должны составлять 180 °. Два угла вместе образуют линию ABC. Вы знаете, что они образуют линию из-за определения линейных пар. Поскольку прямая линия равна 180 °, вы можете использовать замену, чтобы доказать, что сумма угла A и угла B составляет 180 °.
Расположите свои шаги в логическом порядке. Начните с доказательства с самого начала и продвигайтесь к заключению. Хотя полезно подумать о доказательствах, начиная с вывода и работая в обратном направлении, при представлении фактических доказательств вы поставите заключение в конце. Утверждения в доказательствах должны вытекать друг из друга с обоснованием для каждого утверждения, чтобы не было причин сомневаться в достоверности ваших доказательств.
- Начните с перечисления предположений, с которыми вы работаете.
- Разделите их на простые и понятные шаги, чтобы читателю не приходилось задаваться вопросом, как один шаг логически вытекает из другого.
- Нередко формулируют несколько доказательств концепции. Продолжайте переставлять, пока все шаги не будут в наиболее логичном порядке.
- Например: начать с самого начала.
  - Угол A и угол B образуют линейную пару.
  - Угол ABC прямой.
  - Угол ABC равен 180 °.
  - Угол A + угол B = угол ABC.
  - Угол A + угол B = 180 °.
  - Угол A является дополнительным к углу B.
Избегайте использования стрелок и сокращений в письменных доказательствах. При составлении плана доказательства вы можете использовать стенографию и символы, но при написании окончательного доказательства такие символы, как стрелки, могут сбить читателя с толку. Вместо этого используйте такие слова, как «тогда» или «так».
- Исключениями для использования сокращений являются: например (например) и т.е. (т.е.), но убедитесь, что вы используете их правильно.
Подтвердите все утверждения теоремой (теоремой), законом или определением. Доказательства настолько хороши, насколько хороши используемые доказательства. Вы не можете сделать заявление, не подкрепив его определением. Обратитесь к другим подобным свидетельствам в качестве примера.
- Попробуйте применить свои доказательства к делу, в котором ложный должно быть, и убедитесь, что это действительно так. Если результат не ложный, скорректируйте доказательство так, чтобы оно было ложным.
- Многие геометрические доказательства записываются в виде доказательства в два столбца с утверждением и доказательством. Формальное математическое доказательство, предназначенное для публикации, записывается в виде абзаца с правильной грамматикой.
Завершите это заключением или Q.E.D. Последним доказательством должна быть гипотеза, которую вы пытались доказать. Сделав это утверждение, закройте доказательство последним символом, например Q.E.D. или закрашенный квадрат, чтобы указать, что доказательство завершено.
- Q.E.D. означает «quod erat manifestrandum» (на латыни «то, что должно было быть доказано»).
- Если вы не уверены, что ваши доказательства верны, просто напишите в нескольких предложениях, каков ваш вывод и почему он важен.